[TS Spé] Congruence

[rgabi92]

Bonjour !

Je bloque sur un exo, est ce que vous pourriez m'aider?

1. L'entier n étant supérieur ou égal à 1, montrer que est multiple de 5.

Donc cela veut dire qu'on doit démontrer que : pour k donc 0 [5]

Mais comment faire?

2. En déduire que si p est un entier naturel supérieur ou égal à 1, les nombres et ont même chiffre des unités.

[rgabi92]

Par classe qu'est ce que tu entends? c'est si n est pair ou impair ?

[rgabi92]

Si n=0 [5] alors n^4-1 = 4 [5]
Si n=1 [5] alors n^4-1 = 0 [5]
Si n=2 [5] alors n^4-1 = 0 [5]
Si n=3 [5] alors n^4-1 = 0 [5]
Si n=4 [5] alors n^4-1 = 0 [5]

Donc soit n est un multiple de 5, soit n^4-1 est un multiple de 5.
J'ai compris et je sais aussi comment justifier, merci ! :)

Comment en déduire le 2. ?

[rgabi92]

Les différents chiffres des unités sont :
n=0 [5]
n=1 [5]
n=2 [5]
n=3 [5]
n=4 [5]
non?
Donc n^p = n^(p+5) car c'est cyclique?
J'imagine que c'est l'idée mais comment l'expliquer?

[rgabi92]

Là je vois pas, j'y réfléchirai demain...

[rgabi92]

13 873 = 1 387 * 10 + 3
246 753 = 24 675 * 10 + 3
Donc, 13873 3 [10] et 246753 3 [10].
Et 13 873 246 753 [10]

Donc on pourrait exprimer les chiffres des unités en terme de congruence ainsi ? :
n 0 [10]
n 1 [10]
n 2 [10]
n 3 [10]
n 4 [10]
n 5 [10]
n 6 [10]
n 7 [10]
n 8 [10]
n 9 [10]

[rgabi92]

Petit up ... ^^

[rgabi92]

On a prouvé precedemment que n^5-n était congru à 0 modulo 5. Comment passer de modulo 5 à modulo 10 ? Je ne pense pas qu'on puisse "juste" multiplier par 2...

[rgabi92]

15 est un multiple de 5 mais n'est pas un multiple de 10...

[rgabi92]

Pour qu'un nombre soit multiple de 10, il faut qu'il soit multiple de 5 et de 2. Donc il faudrait prouver que n^5-n est également congru à 0 modulo 2 ?

[rgabi92]

C'est bon, j'ai prouvé que n(n^4-1) était congru à 0 modulo 2.
Ai je le droit de dire que comme n^5-n = 5k (pour tout entier k) et n^5-n = 2k alors n^5-n = 10k ?

[mathelot]

bonsoir,



si l'un des trois entiers consécutifs n-1,n,n+1 est multiple de 5, c'est fini.

sinon n-2 ou n+2 est multiple de 5 alors aussi, congru à