Congruence

[Ich]

Bonjour a tous
Quelqu un peut m aider a resoudre cet exercice svp
y=17[mod39]
Montrer y^12=1[mod39]
Merci beaucoup a ceux qui m aideront

[jbreuil]

Bonjour
Pensez que 17^12= (17^3)^4 ou (17^4)^3
17^3 = ....(39) et ensuite passer à la puissance 4.
Ou 17^4 =...(39) et....
Voir le plus intéressant des deux .

[jbreuil]

Remarquer que 17^3 = (-1)[39]

[Ich]

Je m excuse L énoncé c est plus tôt y^11=17[mod39]
Mq y ^12 =17[mod39]

[jbreuil]

Merci de bien vérifier l'énoncé. J'ai un sérieux doute, car ça me semble à première vue contradictoire.

[Ich]

Je m excuse encore une fois
Question : Mq que y^12 =1[39]
Merci d avance pour votre aide

[jbreuil]

Bonjour comme 3. 13 = 39, on peut voir modulo 13

Y^11= 17 mod 39 donc y^11= 4 mod 13. Car 17 = 13 +4.

En faisant la table de reste(y^11,13) on trouve y = 10 mod 13 (pour les « grands » y on peut remarquer que 12= -1 mod, 13,11 =-2 mod 13…). Je vous laisse chercher.

Donc Y = 10 + 13 k, donc y = 10 ou 23 ou 36 mod 39 autrement dit 10, ou -16 ou -3 mod 39

Ensuite on peut calculer reste(10^11, 39), idem pour - 16 et -3. Puis reste(10^12, 39).
Pour 16 remarquer que 16 = 4x4 pour ne pas dépasser la limite de calcul de la calculatrice. Ensuite multiplier par (-1)

Laborieux, mais je n'ai pas trouvé plus simple.

Avez vous vu le petit th de Fermat?

[jbreuil]

Le truc est d'utiliser la fonction Y= ou f(x) = de la calculatrice.

Si on a une supercalculatrice on fait la table Y= reste (X^11,39) pour voir pour quelle valeur n de X le résultat est 17. Je crois qu'on trouve n=23??
Si on n'a pas une super calculatrice on peut ruser comme je l'ai fait ou d'une autre façon.

Après il suffit de vérifier que reste ( nxn^11, 39) =1. Car n^12= nxn^11

[Ich]

je vous remercie jbreuil pour votre réponses, ça m'a beaucoup aidé

[Ich]

Bonjour
Avec le petit théorème de fermat et le corollaire de gauss j ai trouvé le résultat
Merci pour les indications.

[jbreuil]

De rien. Félicitations!

[jbreuil]

En fait j'avais perdu de vue le corollaire de Gauss qui était bien utile. Merci , pour le coup c'était aussi très instructif pour moi!