Congruence
Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
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lilali600
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par lilali600 » 01 Nov 2014, 10:10
Bonjour a tous :) j'ai besoins d'aide svp c'est un DM de spé math (termS) et c'est sur le chapitre sur l'arithmétique voici lénonce:
Pour chacune des deux propositions suivantes dites si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Toute réponse non démonter ne rapportera aucun point.
proposition 1 : Pour tout entier naturel n, 3 divise 2^(2n) -1
proposition 2 : Si un entier relatif x est solution de l'équation x^2 +x congru 0 (6) alors x congru 0 (3)
Je sais pas comment démonter sais que la proposition 1 est vrai et la 2 fausse .
Merci d'avance :)
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Sake
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par Sake » 01 Nov 2014, 11:20
Salut,
lilali600 a écrit:Bonjour a tous
j'ai besoins d'aide svp c'est un DM de spé math (termS) et c'est sur le chapitre sur l'arithmétique voici lénonce:
Pour chacune des deux propositions suivantes dites si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Toute réponse non démonter ne rapportera aucun point.
proposition 1 : Pour tout entier naturel n, 3 divise 2^(2n) -1
proposition 2 : Si un entier relatif x est solution de l'équation x^2 +x congru 0 (6) alors x congru 0 (3)
Je sais pas comment démonter sais que la proposition 1 est vrai et la 2 fausse .
Merci d'avance
Si tu sais que la 1 est vraie, alors fais une récurrence.
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lilali600
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par lilali600 » 01 Nov 2014, 11:46
Sake a écrit:Salut,
Si tu sais que la 1 est vraie, alors fais une récurrence.
Initialisation: pour n=0 on a 2^(0)-1 = 0 la propriété est vrai car 3 est divisible par 0
hérédité: supposons que "3 est divisible par 2^(2n)-1" vraie. alors il existe k tel que 2^(2n)-1 =3k => 4^(n)-1=3k
Montrons que pour un rang n+1 hypothèse de récurrence est vraie c'est a dire pour 4^(n+1) -1=3k et apres je n'arrive pas a continuer :/
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Sake
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par Sake » 01 Nov 2014, 11:51
lilali600 a écrit:Initialisation: pour n=0 on a 2^(0)-1 = 0 la propriété est vrai car 3 est divisible par 0
hérédité: supposons que "3 est divisible par 2^(2n)-1" vraie. alors il existe k tel que 2^(2n)-1 =3k => 4^(n)-1=3k
Montrons que pour un rang n+1 hypothèse de récurrence est vraie c'est a dire pour 4^(n+1) -1=3k et apres je n'arrive pas a continuer :/
Attention, entre le rang n et le rang n+1, on n'a pas le même k... Faut juste montrer qu'au rang n+1, 4^(n+1) - 1 est toujours divisible par 3. Ce qui veut dire ?
D'ailleurs, tu es sûr que c'est juste ?
Parce que si c'est pas juste, on passe par l'absurde pour montrer que l'assertion est fausse.
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nodjim
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par nodjim » 01 Nov 2014, 12:04
La proposition 2 est fausse.
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lilali600
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par lilali600 » 01 Nov 2014, 12:21
Sake a écrit:Attention, entre le rang n et le rang n+1, on n'a pas le même k... Faut juste montrer qu'au rang n+1, 4^(n+1) - 1 est toujours divisible par 3. Ce qui veut dire ?
D'ailleurs, tu es sûr que c'est juste ?
Parce que si c'est pas juste, on passe par l'absurde pour montrer que l'assertion est fausse.
il existe k tel que 2^(2n)-1 =3k et donc 2^2n =3k+1
2^2(n+1)-1 = 2^(2n+2)-1
= (2^2n)x2² - 1
= (3k+1)x4 - 1
= 12k + 4 -1
= 12k+3 vraie pour un rang n+1
conclusion la proposition 1 est vraie
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lilali600
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par lilali600 » 01 Nov 2014, 12:23
Pour la proposition 2 je veux le faire sans contre exemple j'ai un contre exemple pour x=5 je voudrais le faire en démontrant la réciproque
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Sake
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par Sake » 01 Nov 2014, 12:36
Tu ne démontreras pas que la proposition est fausse en démontrant sa réciproque...
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