Congruence et suites - Spé maths

[zouzou]

Bonsoir tout le monde,

Nouveau sur le forum (car je coince sur une question ...), voici un exercice dont je n'arrive pas à faire la dernière question (exercice en pièce jointe). Voilà comment je pars pour le moment :

D'après la question 4, on a :
On en déduit : , avec k un entier relatif
D'où :
Si k est pair, alors on a , le reste est donc de 14
Si k est impair, alors on a , le reste est donc de 64.
Et là je coince ... je pense avoir montré que les deux restes possibles sont 14 et 64, mais je n'arrive pas à répondre proprement à la question : "déterminer les deux derniers chiffres suivants les valeurs de n"

En vous remerciant pour votre aide !

Pierre

[Pseuda]

Bonsoir,

Pourquoi diviser par 2 et distinguer k pair ou impair ? De plus, le reste de la division euclidienne de un par 50 ne peut pas être 64.

Reste sur la congruence modulo 100 pour avoir les 2 derniers chiffres de 2un, puis de un.

[zouzou]

Bonsoir Pseuda !

Merci pour ton aide ! Malheureusement, je ne vois vraiment pas le truc ... Nouvel essai :
comme 2un=28[100], les deux dernières décimales de 2un ne peuvent être que 2 (dizaines) et 8 (unités), soit 28. Du coup, on a deux possibilités pour les décimales de un :
- soit 28/2 donc 14
- soit 128/2 donc 64

Je ne suis pas vraiment convaincu par ce que j'ai fait ...

[Pseuda]

Il est dit dans l'exercice "suivant les valeurs de n" : je n'ai pas lu tout l'exercice, mais avec la conclusion de la question 2, tu dois pouvoir distinguer si c'est 14 ou 64.

Et effectivement, pour trouver 14 et 64, il faut utiliser la congruence modulo 50 (j'ai répondu la 1ère fois trop vite): ce que tu as fait est bon.

[zouzou]

Ah oui ok ! Je crois que j'ai la résolution.

Donc, on part en modulo 50 (premier message) et on trouve les décimales 14 et 64.
Avec le résultats de la question 2, on conclut que les rangs pairs (2k) ont pour reste 14 puisque u(2k) est congru à 2 modulo 4. De même pour u(2k+1) avec 64 congru à 0 modulo 4.
Donc, si n est pair, on a un reste de 14 ; si n est impair, on a un reste de 64.

merci Pseuda !

[zygomatique]

salut

la question 2/ dit dans quel cas on a 14 et dans quel cas on a 64 ...

[zouzou]

Merci zygomatique !