Congruence, multiple de 10

[moijhd]

Bonjour :

Déterminer les entiers naturels multiples de 10 qui sont la somme des carrés de trois entiers consécutifs

J'ai donc :
n² + (n + 1)² + (n + 2)² modulo 0 [10] avec n € N ?
et n² + (n + 1)² + (n + 2)² = 10k avec k € Z ?

Même j'arrive ni à conclure ni a trouvé autre chose...

Vous pouvrez m'aider ? :we:

[rene38]

Bonjour

Au lieu d'appeler n le plus petit des 3, essaie d'appeler n celui du milieu.

[moijhd]

:lol4: oui, je peut tout mettre de telle sorte que :

(n-1)² + n² + (n + 1)² modulo 0 [10] avec n € N ?
et (n-1)² + n² + (n + 1)² = 10k avec k € Z ?

ou

(n + 1 -1)² + (n + 1)² + (n + 1 + 1)² modulo 0 [10] avec n € N ?
3(n + 1)² + 2 modulo 0 [10] avec n € Z ?
3n² + 6n + 5 modulo 0 [10] avec n € Z ?

Mais ça ne fait que "déplacer" le problème :lol4:
Je pense qu'il me manque une hypothèse

[rene38]

en développant :





Quels sont les multiples de 3 qui se terminent par 8 ?

....

[moijhd]

Comment je passe de 3n² + 2 modulo 0 [10] à 3n² modulo 8 [10] ?

Par ailleurs,
3n² modulo 8 [10]
n² modulo 6 [10]

car j'ai :
3x modulo 8 [10] si et seulement si
x modulo 6 [10]
donc pour x=n²
n² modulo 6 [10]

Pour n = 1, 1 = 10 * 0 + 1
Pour n = 2, 4 = 10 * 0 + 4
Pour n = 3, 9 = 10 * 0 + 9
Pour n = 4, 16 = 10 * 1 + 6
Pour n = 5, 25 = 10 * 2 + 5
Pour n = 6, 36 = 10 * 3 + 6

[rene38]

Si tu préfères, écris -2 à la place de 8 mais modulo 10, -2 ou 8 c'est la même chose.

Remarque : se lit "3n² est congru à 8 modulo 10.

[moijhd]

Merci pour la remarque...détail affligeant...
Est ce que la suite est correcte ? Et qu'en déduire ?

[moijhd]

C'est à dire :

n congru à 4 modulo 10
ou n congru à 6 modulo 10

d'ou n = ??

[rene38]

Oui mais il faudrait continuer jusqu'à 9. (sans rien trouver de nouveau)

Que conclure ?
Que pour n congru à 4 ou à 6 modulo 10(*), les nombres de la forme 3n²+2 sont des entiers naturels multiples de 10 qui sont la somme des carrés de trois entiers consécutifs.
(*) ou si on préfère, pour n entier naturel se terminant par 4 ou par 6.

[moijhd]

Donc si je reprend tout :

(n - 1)² + n² + (n + 1)² congru à 0 modulo 10
3n² + 2 congru à 0 modulo 10
3n² congru à -2 modulo 10
3n² congru à 8 modulo 10

or 3x congru à 8 modulo 10 si et seulement si
x congru à 6 modulo 10

donc pour x = n²

3n² congru à 8 modulo 10 si et seulement si
n² congru à 6 modulo 10

or n² congru à 6 modulo 10 si et seulement si
n congru à 4 modulo 10
ou n congru à 6 modulo 10

donc les nombres de la forme (n - 1)² + n² + (n + 1)² sont des entiers naturels multiples de 10 qui sont la somme des carrés de trois entiers consécutifs pour tout entier n se terminant par 4 ou 6