Congruence - Amérique du Sud 2006

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Patgom145
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Enregistré le: 20 Nov 2021, 17:56

Congruence - Amérique du Sud 2006

par Patgom145 » 20 Nov 2021, 18:09

Bonjour,

Je bloque sur une question (la 3.b)) de congruence d'un sujet du BAC Amérique du Sud 2006 (tout le reste ça va).

3. Soit a un entier naturel non divisible par 7.
a. Montrer que : a^6 ≡ 1 mod 7.
b. On appelle ordre de a mod 7, et on désigne par k, le plus petit entier naturel non nul tel que a^k ≡ 1 mod 7. Montrer que le reste r de la division euclidienne de 6 par k vérifie a^r ≡ 1 mod 7.
En déduire que k divise 6.
Quelles sont les valeurs possibles de k ?
c. Donner l’ordre modulo 7 de tous les entiers a compris entre 2 et 6.


Le corrigé officiel que j'ai trouvé est :
3.b.
On a a^k ≡ 1 mod 7, k étant le plus petit naturel vérifiant cette congruence.
D’autre part 6 = kq +r avec 0<=r < k.
On a donc a^6 = a^(kq+r) = a^(kq) × a^r =(a^k)^q × a^r
Or a^k ≡ 1 mod 7, donc a^6 ≡ a^r ≡ 1 mod 7.
Donc a^r ≡ 1 mod 7.
Or k étant le plus petit naturel vérifiant a^k ≡ 1 mod 7, il en résulte que r = 0, c’est-à-dire
que k divise 6.

Les valeurs possibles pour k sont donc 1, 2, 3 et 6

Je ne comprends pas l'argument qui permet de démontrer que r=0 (la phrase en rouge).

Merci d'avance,



 

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