Cône tronqué - volume

[richmonder777]

Bonjour,

J'ai un petit problème avec un exercice de calculs d'aires et de volumes.

On me demande de :

Déterminer le volume d'un cone tronqué obtenu par rotation autour de l'axe Ox d'un morceau de droite d'équation y= mx+p

Je dois y arriver grâce aux intégrales.

Comment effectuer cette démonstration?

Merci d'avance!

[Kikoo <3 Bieber]

Bonjour,

J'ai un petit problème avec un exercice de calculs d'aires et de volumes.

On me demande de :

Déterminer le volume d'un cone tronqué obtenu par rotation autour de l'axe Ox d'un morceau de droite d'équation y= mx+p

Je dois y arriver grâce aux intégrales.

Comment effectuer cette démonstration?

Merci d'avance!

Salut !

On somme la surface du disque engendré par rotation entre les bornes d'intégration.

[richmonder777]

Et comment on y arrive?

J'ai une interro dessus demain et je ne comprends pas comment développer =S

ça m'aiderait grandement que quelqu'un développe ! même si ce n'est que le début ou en résumé pour que je puisse pouvoir le développer par la suite =)

[Kikoo <3 Bieber]

Et comment on y arrive?

J'ai une interro dessus demain et je ne comprends pas comment développer =S

ça m'aiderait grandement que quelqu'un développe ! même si ce n'est que le début ou en résumé pour que je puisse pouvoir le développer par la suite =)

en posant ...
Ainsi, on a


Tout cela ne va pas sans explications, bien sûr !
Imagine-toi dans le repère . Nous avons la courbe d'expression dans le repère . On fait tourner cette courbe autour de l'axe (Ox), autrement dit l'axe .

On obtient un cône de glâce goût vanille-pistache en Three-Dee (tronqué car tu as déjà mangé la moitié, gourmand(e) que tu es), et on vient couper ce cône par un plan orthogonal à et mobile entre 0 et a, deux réels appartenant à .
Ce plan qui coupe le cône engendre des sections qui sont des disques de rayon f(x). Tu vois ? Ainsi, il suffit de sommer de 0 à a toutes ces surfaces

Edit d'explication

[richmonder777]

C'est possible que j'obtienne cela :

Je pose R = grand rayon, r=petit rayon et h=hauteur:

point A (0 ; r)
point B (h ; R)

m = R-r/h

Ensuite, nous devons trouver p. => r = 0 + p = p=r

et nous avons la f(x) = (R-r/h)*x + r

nous faisons l'intégrale de cette fonction : Pi * int. [(R-r/h)*x +r ]²

Et j'arrive à cela :

Int. [ (R²+r²-2Rr/h²)*x² + r² + 2*(R-r/h)*x*r ]

Ensuite, nous devons faire la primitive:

[(R²+r²-2Rr/h²)*x³/3 + r²x + 2*(R-r/h)*x²/2*r] dans l'intervalle 0 -> h

Donc, en remplacant, nous avons :

(R²+r²-2Rr)*h/3 + r²h + 2*(R-r)*h/2*r

Je mets en évidence h :

Pi * h * (R²+r²-2Rr)/3 + r² + (R-r)*r

= Pi * h * (R²+r²-2Rr)/3 + r² + Rr-r²

= Pi * h * (R²+r²-2Rr)/3 + Rr

= Pi * h * (R²+r²-2Rr)/3 + 3Rr/3

= Pi * h * 1/3 * (R²+r²+Rr)


Voila =)