Concours national

[Malek]

Salut
j'ai un probléme a resoudre cet exercice que je l'ai trouvé dans le un concours national de mathematique tunisien
j'aimerais que vous m'aidiez a le resoudre SVP
EX1:
quel est le plus petit entier naturel qui admet 1, 1 et 5 pour restes lorsqu'il est divisé par 3 , 5 et7 respectivement

[Alpha]

Ta question, Malek, est mal formulée, tu as du faire une erreur en l'écrivant.
De plus, ici, on aime bien, on EXIGE, même, lorsque quelqu'un pose une question, qu'il fasse preuve d'un minimum de politesse (salut, bonjour, merci...).

;)

Alpha

[Malek]

ok je m'excuse

[Alpha]

Salut Malek,

Je te félicite pour ton effort de reformulation :) , mais je ne peux toujours pas répondre à ta question, car, tu as écrit que 1 est le reste dans la division par 3 et dans la division par 5, mais 5, c'est le reste dans la division par quoi? Ce n'est pas précisé. Il doit donc manquer le dernier diviseur.

;)

Alpha

[Malek]

Salut Alpha,
j'ai reglé l'exercice alors attends ta reponse :)
va le revoir
@+

[evilangelium]

P = 3k + 1
P = 5k' + 1
P = 7k" + 5

5k' = 7k"+4
5k' - 7k" = 4
(..)
k' = 7n - 2
k" = 5n - 2

3k = 7k" + 4
3k = 7(5n - 2)
35n - 3k = 10
(..)
n = 3z - 10
k = 35z - 120

n > 0 => z > 3.33
k > 0 => z > 3.42

prenons donc z = 4
k = 35*4 - 120 = 20

P = 3k + 1
P = 3*20 +1
P = 61

on peut vérifier
P = 20*3 + 1
P = 5*12 + 1
P = 7*8 + 5

P = 61

toutes les variables sont dans Z bien sur

[Malek]

merci pour votre réponse

[evilangelium]

plus simple aussi
P = 15k + 1
(d'après sa division par 3 et 5 ayant pour reste 1)
P = 7k' + 5

soit 15k - 7k' = 4
(..) << Euclide, Gauss
k = 7n + 4
k' = 15n + 8

P = 15 (7n + 4) + 1
P = 105n + 61

c'est plus rapide, plus beau, et mieux :D
on trouve rapidement l ensemble des solutions par la forme de P