Concours général 2014

[t.itou29]

Bonsoir,
J'ai commencé le premier problème du cg 2014 mais je bloque sur la question 3-b.
Je pensais à une récurrence mais l'initialisation n'est pas évidente... et je vois pas comment faire autrement.
http://www.animath.fr/IMG/pdf/cgmaths2014.pdf

[Ben314]

Salut,
Niveau term. (danc sans la notion de séries), je pense que le plus simple c'est d'encadrer Um-Un (pour m>n) puis de faire tendre m vers l'infini.

[t.itou29]

Salut,
Niveau term. (danc sans la notion de séries), je pense que le plus simple c'est d'encadrer Um-Un (pour m>n) puis de faire tendre m vers l'infini.

Merci !
,d'ou le resultat en faisant tendre m vers l'infini. Merci encore ! Il me reste plus qu'une question et j'aurai (avec de l'aide) résolu pour la première fois un exo de cg en entier ! Mais j'ai l'impression que la dernière n'est pas évidente du tout...

[t.itou29]

Et j'ai un doute sur ma réponse à la question 2:
On peut supposer avec a un réel quelconque:
On alors alors (j'ai pas mis les détails)

En prenant avec (sous réserve que les bk ne soient pas nuls et c'est ça qui me gêne) il existe alors une infinité de suite géometrique satisfaisant l'inégalité

(car on a d'une part et de l'autre et la décroissance de la fonction valeur absolue sur R- permet de conclure)

[t.itou29]

Et j'ai un doute sur ma réponse à la question 2:
On peut supposer avec a un réel quelconque:
On alors alors (j'ai pas mis les détails)

En prenant avec (sous réserve que les bk ne soient pas nuls et c'est ça qui me gêne) il existe alors une infinité de suite géometrique satisfaisant l'inégalité

(car on a d'une part et de l'autre et la décroissance de la fonction valeur absolue sur R- permet de conclure)

[Ben314]

Déjà, sur la formulation, c'est pas terrible...

La question est "Montrer qu'il existe TRUC tel que"
A ce genre de question, on répond fréquemment : "Prenons (totalement par hasard... :zen:) TRUC =..."
Mais pas "On peut supposer que TRUC=..."

Ça :

...avec ...

,bien qu'on comprenne le sens ,ça va pas non plus au niveau rédaction : tu fait comme si le c avait le droit de dépendre de n alors qu'il ne le doit pas (sinon a dépendrait de n et a.q^n ça serait plus une suite géométrique)
Donc il faut se forcer à écrire "...avec c tel qu'il existe un entier n tel que..."

Sinon, sur le principe, ça va, mais effectivement ça ne te produit pas une infinité de solutions.

Perso :

a) J'aurais commencé par "Prenons comme suite géométrique et regardons pour quelles valeurs de réel une telle suite convient"

b) Le xn-yn, je l'aurais plutôt écrit dans l'autre sens (les majoration/minorations sur des négatifs... je me méfie...) :

donc on a vu que
Donc, pour que , il suffit que (et surtout pas "il faut que") :
et
C'est à dire que et que .
Or, comme , la suite est croissante donc pour que la première condition soit vérifiée, il suffit (là, on peut mettre "il faut et il suffit" si on veut, mais surtout pas seulement "il faut") que

Il y a donc une infinité de qui conviennent.

[t.itou29]

Déjà, sur la formulation, c'est pas terrible...

La question est "Montrer qu'il existe TRUC tel que"
A ce genre de question, on répond fréquemment : "Prenons (totalement par hasard... :zen:) TRUC =..."
Mais pas "On peut supposer que TRUC=..."

Ça :,bien qu'on comprenne le sens ,ça va pas non plus au niveau rédaction : tu fait comme si le c avait le droit de dépendre de n alors qu'il ne le doit pas (sinon a dépendrait de n et a.q^n ça serait plus une suite géométrique)
Donc il faut se forcer à écrire "...avec c tel qu'il existe un entier n tel que..."

Sinon, sur le principe, ça va, mais effectivement ça ne te produit pas une infinité de solutions.

Perso :

a) J'aurais commencé par "Prenons comme suite géométrique et regardons pour quelles valeurs de réel une telle suite convient"

b) Le xn-yn, je l'aurais plutôt écrit dans l'autre sens (les majoration/minorations sur des négatifs... je me méfie...) :

donc on a vu que
Donc, pour que , il suffit que (et surtout pas "il faut que") :
et
C'est à dire que et que .
Or, comme , la suite est croissante donc pour que la première condition soit vérifiée, il suffit (là, on peut mettre "il faut et il suffit" si on veut, mais surtout pas seulement "il faut") que

Il y a donc une infinité de qui conviennent.

C'est vrai que c'est plus pratique de l'écrire dans ce sens...
J'ai minorée d'un côté mais j'ai pas du tout pensé à majorer de l'autre (à part avec 0 mais c'est pas efficace du tout), j'aurais du m'en douter avec la valeur absolue :mur:

[Ben314]

Le truc (peut-être..) à voir, c'est qu'on arrive souvent à montrer ce type d'inégalité avec des valeur absolues en gardant tout le long les valeurs absolues, mais qu'il faut que les hypothèses soient elles aussi "en valeur absolues".
Alors que là, LA hypothèse, c'est que les beta_i sont entre 0 et epsilon et que si tu dit qu'il sont plus petit que epsilon en valeur absolue, tu perd trop d'information pour conclure (en fait, tu trouve que la suite yn=xo.q^n marche, mais c'est pas clair qu'il y en ait d'autres...)

Donc il faut "casser" la valeur absolue pour pouvoir utiliser "à fond" l'hypothèse.

[t.itou29]

Je crois avoir trouvé la réponse au c :
On écrit (avec a non nul)
On a alors :

Pour que la suite convienne il faut donc que:

Si on fait tendre n vers l'infini, le membre droit tend vers 0 et 3 cas se présentent pour le membre gauche:
- : il tend vers plus l'infini, impossible.
- : il tend vers ce qui implique or est strictement positif et s est positif, impossible.
- : il tend vers ce qui implique
Dans ce cas on a bien d'après la question 3b):

Il me reste à montrer que a doit être non nul mais je pense que c'est facile, est-ce correct ?

[Ben314]

C'est bon.
De plus, a est forcément non nul, sinon le membre de gauche de ton inégalité vaudrai à Un+Xo et ne tendrait pas vers 0 (cas identique à celui où r

[t.itou29]

C'est bon.
De plus, a est forcément non nul, sinon le membre de gauche de ton inégalité vaudrai à Un+Xo et ne tendrait pas vers 0 (cas identique à celui où r<q et tout aussi contradictoire)

D'accord, merci ! Et au fait à quoi réfère le titre "stabilité géométrique" ? J'arrive pas trop à "visualiser" le problème, à voir la suite en question.

[Ben314]

Je pense que ça signifie qu'on étudie une suite "presque" géométrique dans le sens que x_{n+1} est "presque" égal à q.xn puis on regarde si ça implique qu'on puisse l'approximer par une vrai suite géométrique.

C'est en ce sens qu'on regarde la "stabilité" de la relation x_{n+1}=q.x_n

[t.itou29]

Je pense que ça signifie qu'on étudie une suite "presque" géométrique dans le sens que x_{n+1} est "presque" égal à q.xn puis on regarde si ça implique qu'on puisse l'approximer par une vrai suite géométrique.

C'est en ce sens qu'on regarde la "stabilité" de la relation x_{n+1}=q.x_n

Ah ok, je vois. C'est pas mal comme problème, je préfère ça aux problèmes d'olympiades académiques avec leurs ruches d'abeilles et leurs routes à construire... (oui, j'ai détesté le sujet de cette année !)

[Darkwolftech]

Ah ok, je vois. C'est pas mal comme problème, je préfère ça aux problèmes d'olympiades académiques avec leurs ruches d'abeilles et leurs routes à construire... (oui, j'ai détesté le sujet de cette année !)

Aha c'était quand même rigolo non ? :ptdr:

[t.itou29]

Aha c'était quand même rigolo non ? :ptdr:

Rigolo c'est sur mais intéressant pas trop... mais je dois avouer que je ne suis pas très objectif: je voulais tout sauf de la géométrie et comme par hasard trois exos de géométrie ! :ptdr: Je dois quand même admettre que le tout premier problème avec la numérotation magique était plutôt pas mal.

[Darkwolftech]

Rigolo c'est sur mais intéressant pas trop... mais je dois avouer que je ne suis pas très objectif: je voulais tout sauf de la géométrie et comme par hasard trois exos de géométrie ! :ptdr: Je dois quand même admettre que le tout premier problème avec la numérotation magique était plutôt pas mal.

Oui c'est vrai que niveau géometrie ... on a été servis ! :ptdr:
Tu es dans quelle académie ?

[t.itou29]

Oui c'est vrai que niveau géometrie ... on a été servis ! :ptdr:
Tu es dans quelle académie ?

Dans l'académie de Caen
Tu as bien réussi ? J'ai quasiment fini deux exos mais le reste a été très laborieux...