Compréhension démonstration proba

[Victor75]

Bonjour,
J'ai débuté un chapitre de probabilité et j'aimerais mieux comprendre le sens de ce que je lis, en particulier dans une démonstration concernant les propriétés de l'espérance: E(aX + b) = aE(X) + b. Est-ce que vous pourriez me dire si je "pense" correctement ce que je lis ? J'ai l'impression d'être sur la voie sans être très confiant pour autant.
Soit {x1, x2, ..., xr} l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X.
On considère une nouvelle variable aléatoire Y définie par Y = aX + b, qui prend les valeurs y1 = ax1+b, y2=ax2+b...yr=axr+b.
Si a n'est pas nul, d'après la définition de l'espérance d'une variable aléatoire, on a:
E(Y)=y1p(Y=y1)+y2p(Y=y2)+...+yrp(Y=yr).
L'espérance de la variable aléatoire Y est égale à la somme des valeurs prises par les variables aléatoires y1, y2...yr multipliées par leurs probabilités.
Or, comme a n'est pas nul, on a:
p(Y=yi)=p(aX+b=axi+b)=p(aX=axi)=p(X=xi)
La probabilité de la réunion de tous les événements (Y=yi) est égale à la probabilité que aX+b soit égale à axi+b), soit égale à la probabilité que aX soit égale à axi, soit égale à la probabilité que X=xi.
d'où: E(Y)=(ax1+b)p(X=x1)+(ax2+b)p(X=x2)+...+axr+b)p(X=xr)
L'espérance de la variable aléatoire Y est égale à la somme des produits (ax1+b) multipliée par la probabilité que X ait pour valeur x1, (ax2+b) multipliée par p(X=x2)... jusqu'à l'issue r (axr+b) multipliée par p(X=xr).
soit:
E(Y)=ax1p(X=x1)+ax2p(X=x2)+...+axrp(X=xr)+b(p(X=x1)+p(X=x2)+...+p(X=xr)).
L'espérance de la variable aléatoire Y est égale à la somme des probabilité de chaque valeur prises par la variable aléatoire X (x1, x2...xr) multipliées par a, additionnée de b facteur de la probabilité de de chaque valeur prises par la variable aléatoire X (x1, x2...xr).

Ensuite la démonstration continue jusqu'à E(Y)=E(aX+b) = aE(X)+b.

Merci d'avance,
Victor

[mathou13]

Bonjour,

Cela provient de la linéarité de la fonction E

https://www.google.com/url?sa=t&source= ... lojRqoJLcW

[mathou13]

Bonjour,

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Espérance_mathématique

[Victor75]

Bonjour Mathou13,
Super, merci beaucoup. J'avais cherché une démonstration de Maths et tiques sans succès, cette vidéo est ce dont j'avais besoin.
Victor