Composition de fonction et sens de variation

[tick]

Bonjour,

Si deux fonctions f et g sont croissantes sur un intervalle I et que pour tout réel x dans I, g(f(x)) est défini, alors leur composition est croissante.
C'est facile à prouver, mais je trouve un contre-exemple.

La fonction f définie sur R par f(x) = x^2 - 1 est bien croissante sur [0,1] mais sa composition avec elle même est décroissante sur cet intervalle.

Pourquoi ça ?

Merci

[Ben314]

Salut,
Tout simplement du fait que, si tu énonce le résultat comme ça :

Si deux fonctions f et g sont croissantes sur un intervalle I et que pour tout réel x dans I, g(f(x)) est défini, alors leur composition est croissante.

ben c'est passablement faux.
Pour que le résultat soit correct, la condition, ce n'est pas que "g(f(x)) est défini", mais que f(x) appartienne à l'ensemble sur lequel tu as montré que g était croissante.
Et il te suffit de faire toi même la preuve du résultat en question pour voir que c'est bien de ça dont tu as besoin comme hypothèse pour montrer que la composée est croissante.

Et dans ton "contre exemple", la fonction x->x^2-1 est certes croissante sur [0,1] (et même [0,+oo[), mais elle est décroissante sur ]-oo,0]. Et comme l'intervalle [0,1] est envoyé sur l'intervalle [-1,0], la composée de f avec elle même (et comme ensemble de départ [0,1]) va être décroissante vu que tu compose une fonction croissante (à savoir f sur [0,1]) avec une fonction décroissante (à savoir f sur [-1,0]).

[tick]

Effectivement ! Merci beaucoup pour l'explication, c'est très clair.

[mathelot]

bonjour,
est ce qu'il faut que f(I) soit inclue dans un intervalle J où g est croissante ?

[Ben314]

Non, il e faut rien du tout comme hypothèses supplémentaires.
Si tu défini la notion de fonction croissante entre deux ensembles ordonnés (*) et par :
Alors il est clair que, lorsque la composée de deux fonctions croissantes existe, alors elle est croissante.

Là ou tu as besoin de fonctions (réelles) définies sur des intervalles, c'est quand tu veut utiliser des résultat de passage du ponctuel (ou du local) au global, par exemple f'>0 (ponctuel) => f croissante (global)

(*) Et pas forcément totalement ordonnés.