Complexes

[egan]

Salut,
Je sais comment utiliser les complexes comme toute personne sortant du lycée mais j'aimerais bien savoir pourquoi cela fonctionne.
Pourquoi i²=-1 et pas i²=-2 ?
Pourquoi i²=-1 permet-il de résoudre des problèmes de géométrie ?
@+ Boris.

[sky-mars]

Salut
sa pourra peut être t'ouvrir les yeux
http://desencyclopedie.wikia.com/wiki/Nombres_complexes




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[Timothé Lefebvre]

Yop,

posons P un plan muni d'un repere orthonorme.
Chaque point de ce plan a pour affine complexe z = x + iy si ses cartesiennes sont dans le repere (x,y) choisi, en gros si vec(OM) = x*vec(i) + y*vec(j)

Tu comprends ?

[egan]

Oui oui ça j'ai compris mais pourquoi i²=-1 ?

[Timothé Lefebvre]

Parce qu'on en avait besoin pour resoudre des equations comme x^2+1=0.
On a juste cree cette outil, on en a invente une definition !

[egan]

Ca ok mais pourquoi quand on prend i²=-1, ça permet de résoudre des problèmes de géométrie ?
Comment pouvait-on s'imaginer ou démontrer qu'il fallait i²=-1 et pas i²= un autre négatif pour que ça marche ?

[le_fabien]

Ca ok mais pourquoi quand on prend i²=-1, ça permet de résoudre des problèmes de géométrie ?
Comment pouvait-on s'imaginer ou démontrer qu'il fallait i²=-1 et pas i²= un autre négatif pour que ça marche ?

Bonjour ,
bien sur on pouvait prendre i²=-2 mais on prend i²=-1.
Si tu veux avoir -2 alors il suffit d'écrire 2i² , cela fait -2.

[Timothé Lefebvre]

Oui, les complexes sont utilises en geometrie, par exemple deux vecteurs sont egaux ssi ils ont meme affixe ou bien l'affixe d'une somme de deux vecteurs est la somme des affixes de ces vecteurs ou encore la relatiom entre l'affixe d'un barycentre et les affixes des points, etc

[sky-mars]

Les nombres complexes est un outils surpuissant utile
- dans les problèmes en physique
- dans le calcul d'intégrale barbare
- dans la linéarisation de cos ou sin
- en géométrie (transformation usuel dans le plan) (tout ça nous ramène à la physique)

[Ericovitchi]

Un bon moyen pour comprendre est de regarder les deux vidéos sur les nombres complexes qui sont sur ce site

On comprend alors que i représente une rotation de pi/2 et que 2 rotations de pi/2 combinées () amènent au point -1.

[Timothé Lefebvre]

Avec les complexes on calcule des longueurs, des angles, des translations dans le plan etc ...

EDIT : ah, grille !

[egan]

En fait, le seul truc que je ne comprends pas c'est pourquoi ça marche en géométrie. Si on prennait i²=-2, on ne pourrait pas résoudre les problèmes de géométrie comme on le fait. Mais alors comment savoir qu'il fallait prendre i²=-1 ?

[egan]

Vous allez pas tarder à me pendre là je crois, lol.

[Timothé Lefebvre]

Car on s'est rendu compte que R ne fournissait pas toutes les solutions a nos equations, on a donc cree C, et quand on s'est rendu compe que C n'etait pas assez complet on a encore cree autre chose ... Et ainsi de suite !

[egan]

Les équations ça j'ai compris mais c'est le pourquoi ça marche en géométrie que je ne comprends pas. En fait, là où j'ai du mal c'est à comprendre pourquoi quand on multiplie les parties imaginaires (qui sont les coordonnées sur les y), on retombe sur des parties réelles (qui sont les coordonnées sur les x) avec -1 devant.
Je sais pas si j'arrive à être clair.

[Ericovitchi]

Regardes la vidéo dont je t'ai parlé plus haut. Si tu vois les nombres imaginaire comme des rotations de pi/2 de rayon plus ou moins grand, il n'y a rien d'étonnant à ce quand on les combine (on les multiplient) on retombe sur du réel car pi/2+pi/2 = pi

[egan]

Si on fait subir une rotation d'angle pi de centre O au point d'affixe i, on tombe sur -i.
J'ai du mal à saisir.

[Ericovitchi]

non. i est équivalent à la rotation pi/2 (parce que )
consiste donc à refaire une nouvelle rotation de pi/2
Par exemple on pars du point 1,0, une première rotation l'amène en i
(en 0,1) et une seconde en (-1,0) donc
(et d'ailleurs avec la notation on voit bien aussi que )

[egan]

Ah ok merci. ^^