Complexes!

[emma_2008]

bonjour je n'arrive pas à faire cet exercice, quelqu'un pourrait'il m'aider svp?
Résoudre dans C l'équation: Z^3+(6+4i)z²+(34+24i)z+136i=0 sachant qu'elle admet une solution imaginaire pure.
merci! :happy2:

[Monsieur23]

Aloha ;

C'est une horreur, tu es sûre de l'énoncé ?

[ManoOon]

lol, sérieux, c'est une blague ton exo la ou koi ? :livre:

[Huppasacee]

bonjour je n'arrive pas à faire cet exercice, quelqu'un pourrait'il m'aider svp?
Résoudre dans C l'équation: Z^3+(6+4i)z²+(34+24i)z+136i=0 sachant qu'elle admet une solution imaginaire pure.
merci! :happy2:

Sachant qu'elle admet une solution imaginaire , cherchons la

cette solution z1 s'écrit ki avec k réel
trouvons k en remplaçant z par ki dans l'équation donnée

Ensuite , après avoir trouvé k
on se souvient que
Si P(z) a pour racine z1
alors P(z) peut se factoriser

P(z) = (z-z1)*Q(z)
ensuite Q(z) = az² + bz + c
développons
et calculons a , b et c par identification

[emma_2008]

merci de votre aide, je comprends la démarche mais comment faire pour trouver k en remplaçant z par ki?

[leon1789]

La factorisation est (z+3+5i)(z+3-5i)(z+4i) = 0
mais le problème est d'y arriver de manière naturelle, en notant que -4i est solution...

Pour cela, écrire z= i.y avec y réel et recalculer l'équation donnée.
Ensuite, utiliser la partie réelle : on tombe sur une équation en y du second degré, dont -4 est solution...

[Huppasacee]

Voici le détail

z = yi est solution de

Z^3+(6+4i)z²+(34+24i)z+136i=0
remplaçons z par yi
(iy)^3 + (6+4i)(yi)² + (34 + 24i)*yi +136i

-iy^3 -6y² - 4y²i +34yi -24y + 136i =0
La partie réelle doit être nulle
-6y² -24y = 0
-y (6y + 24) = 0
donc y = 0 ou y = -4

Une de ces 2 valeurs rend elle aussi la parie imaginaire nulle ?

On s'aperçoit que y = -4 le fait et 0 non
donc -4i est une racine du polynôme donné

Le reste est la résolution d'un trinôme du second degré en trouvant au préalable les coefficients du trinôme