Complexes

[spitfire378]

Bonjour :we:

D'autre part on considère l'équation suivant dans C : (E) z^4+z^3+z^2+z+1=0. Montrer que si z € C est solution, on a z différent 0 et le nombre complexe u = z + (1/z) vérifie l'équation : (E') u^2+u-1=0

Merci de votre aide

[rene38]

Bonjour

Question maintes fois posée, maintes fois résolue sur ce site.
Fais une recherche de "equation symetrique".

[spitfire378]

Désolé...

Mais toujours en rapport avec cet exercice je n'arrive pas a trouver comment

z^2+1/z^2+1/z+z+1=z^4+z^3+z^2+z+1

Si vous pouviez m'aider.

[Elsa_toup]

Tout a été multiplié par z² (qui est non nul par hypothèse)

[spitfire378]

Merci beaucoup Elsa_toup je vois le truc!!

(E) z^4+z^3+z^2+z+1=0. Montrer que si z € C est solution, on a z différent 0 et le nombre complexe u = z + (1/z) vérifie l'équation : (E') u^2+u-1=0

Donc en considérant que z^2 non nul, z^2(z^2+1/z^2+1/z+z+1)=0
équivaut a dire que z^2+1/z^2+1/z+z+1=0 soit u^2+u-1=0

Ensuite il s'agit de résoudre (E') puis de déduire les solutions de (E).

Je trouve :
u1=(-1-racine5)/2
u2=(-1+racine5)/2

Pour les solutions je réintègre dans E je suppose.

Et enfin il nous est demandé de trouver les expressions algébriques des racines 5-emes de l'unité et ce que valent cos(2pi/5/, sin(2pi/5)? Pouvez vous me guider s'il vous plaît?

[Elsa_toup]

Pour les solutions je réintègre dans E je suppose

Oui, c'est cela.

Auparavant, il fallait vérifier que z=0 n'était pas solution. J'imagine que tu l'as fait. (Il suffit de remplacer z par 0. On tombe sur 1=0, donc clairement z=0 n'est pas solution).

Pour la suite, trouver les racines 5ème de l'unité revient à résoudre -1=0.
1 est racine évidente. Donc on peut écrire = (z-1)P(z), où P est un polynome de degré 4 que tu dois déterminer.
Tu devrais retrouver quelque chose qui ressemble à ton énoncé...

P.S: tu peux me tutoyer :we:

[spitfire378]

P.S: tu peux me tutoyer

Merci encore c'est vraiment sympa de ta part de consacrer ton temps a aider les gens j'admire!! Et pour l'exo c'est tout bon :we:

[spitfire378]

Je crois en faite me tromper au niveau de la réintégration en E. Serait il possible de décrire les étapes de calculs? Merci d'avance. :hum:

[Elsa_toup]

Donc tu as u1 et u2, et u = z + (1/z).

En fait, je ne comprends pas pourquoi l'équation est u²+u-1=0. Ne seraut-ce pas plutôt u²+u+1=0 ??

[spitfire378]

Je viens de vérifier c'est bien u^2+u-1=0...

[Elsa_toup]

Ah oui c'est juste ... (décidément... :marteau: )