Complexes

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Neptunefaitdesmaths
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Complexes

par Neptunefaitdesmaths » 11 Sep 2021, 16:02

Bonjour, j'ai deux exercices de maths expert qui me pose problème.

1) On pose pour tout z différent de 1, z'=(2-iz)/(1-z)
Soit E=(z appartient à C / z' appartient à R)

Ici je ne sais pas quoi faire à part dire que la partie imaginaire de z' est nulle et qu'on a donc a'=(2-iz)/(1-z).
Je ne comprend également pas très bien la méthode pour déterminer un ensemble tel que celui ci.

2) C'est un vrai ou faux
a) z^2=-3 n'a pas de solution complexe -- j'ai mis que c'était vrai car pour que z soit un réel il fallait que b=0 or a^2 est différent de -3 car c'est un réel

b) 3z/(3+i)=iz signifie que z=-3i -- j'ai mis que c'était faux car z devait uniquement valoir 0;

c) z^3+z+2=0 n'a pas de solution iR -- ici je ne sais pas quoi faire, s'il faut que je développe tout ou autre.

Merci d'avance de votre aide



hdci
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Re: Complexes

par hdci » 11 Sep 2021, 16:23

Bonjour,
Neptunefaitdesmaths a écrit:1) On pose pour tout z différent de 1, z'=(2-iz)/(1-z)
Soit E=(z appartient à C / z' appartient à R)

Ici je ne sais pas quoi faire à part dire que la partie imaginaire de z' est nulle et qu'on a donc a'=(2-iz)/(1-z)

Mais ici, quelle est la question ? S'il s'agit de décrire l'ensemble E (donc d'identifier quels sont les z=a+ib de E), effecitvement dire que z' est réel c'est dire que la partie imaginaire de z' est nulle.
Ou alors de dire que z'=k, donc 2-iz=k(1-z) avec k réel ; puis de développer en forme algébrique et de dire que les parties réelles des deux membres sont égales, de même que les parties imaginaires ; je vous laisse chercher la suite

Neptunefaitdesmaths a écrit:a) z^2=-3 n'a pas de solution complexe -- j'ai mis que c'était vrai car pour que z soit un réel il fallait que b=0 or a^2 est différent de -3 car c'est un réel

Vous faites une erreur. z²=-3 n'a pas de solution réelle, car un réel au carré est toujours positif, mais ici : quel est le carré de i ? Trouvez la suite.

Neptunefaitdesmaths a écrit:b) 3z/(3+i)=iz signifie que z=-3i -- j'ai mis que c'était faux car z devait uniquement valoir 0;

Justifiez : pourquoi z ne peut-il être qu'égal à zéro ? (il y a une histoire de produit nul ssi un des facteurs est nul)

Neptunefaitdesmaths a écrit:c) z^3+z+2=0 n'a pas de solution iR -- ici je ne sais pas quoi faire, s'il faut que je développe tout ou autre.

Supposez qu'il existe une solution dans iR ; elle est donc de la forme ib avec b réel. Remplacez alors z par ib, factorisez un peu... (mis à part i il n'y aura que des nombres réels donc la réponse va apparaître).
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

Neptunefaitdesmaths
Membre Naturel
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Re: Complexes

par Neptunefaitdesmaths » 11 Sep 2021, 16:55

Pour l'exercice 1 (où il fallait bien déterminer E) j'ai donc
2-iz=k(1-z)
2-iz=k-kz
2-i(a+ib)=k-k(a+ib)
2-ia+b=k-ka-i(kb)
d'où 2-b=k-ka et -ia=-i(kb)
2-b=k-k^2b et a=kb

Ici je suis bloqué et ne sais plus quoi faire

Pour le 2)a) ce que ne comprends pas c'est que z^2= (a+ib)^2=a^2-b^2+i(2ab)
Or ici i n'est pas au carré...

Pour le b j'avais déjà bien justifié donc normalement c'est bon

Pour le c j'ai donc z^3+z+2=0
(ib)^3+ib+2=0
ib((ib)^2+3)=0 mais je ne vois pas où ça nous mène

hdci
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Re: Complexes

par hdci » 11 Sep 2021, 21:08

Regardons cela
Neptunefaitdesmaths a écrit:Pour l'exercice 1 (où il fallait bien déterminer E) j'ai donc
2-iz=k(1-z)
2-iz=k-kz
2-i(a+ib)=k-k(a+ib)
2-ia+b=k-ka-i(kb)
d'où 2-b=k-ka et -ia=-i(kb)
2-b=k-k^2b et a=kb

Attention le calcul est correct jusqu'à la 4ème ligne, mais à la 5ème ligne le +b s'est transformé en -b.
Du coup on a bien , mais
Ce faisant, on peut traiter de plusieurs façon : par exemple, utiliser cela pour écrire b=(fonction de k), et déterminer l'image de R par cette fonction ce qui donne les valeurs possibles pour b.
Ou encore écrire et de dire que le discriminant de ce polynôme en k (discriminant qui sera un polynôme en b) doit être positif ou nul pour qu'il y ait au moins une solution (en traitant le cas particulier b=0). Polynôme du second degré en b... Donc cela donne l'ensemble des réels b possibles.
L'équation donnant alors pour chaque valeur de b une ou deux solutions en k, cela donne par conséquent une ou deux solutions possibles pour a.

Neptunefaitdesmaths a écrit:Pour le 2)a) ce que ne comprends pas c'est que z^2= (a+ib)^2=a^2-b^2+i(2ab)
Or ici i n'est pas au carré...

Pourquoi voulez-vous que i soit au carré ? Vous cherchez z tel que , donc vous cherchez a et b tels que . Utilisez l'unicité de la partie réelle et imaginaire (quelle est la partie imaginaire de -3 ? Par conséquent que peut-on en déduire pour ab ?)
Autre méthode : ne peut-on pas dire que ? Utiliser alors l'identité remarquable avec

Neptunefaitdesmaths a écrit:Pour le c j'ai donc z^3+z+2=0
(ib)^3+ib+2=0
ib((ib)^2+3)=0 mais je ne vois pas où ça nous mène

Comment passez-vous de à ?
Car si je développe cela donne et n'est pas égal à .
Corrigez cela, puis ensuite : à quoi est égal ? A quoi est égal ? A quoi est égal ? à quoi est égal ?
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

 

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