[Term S] Complexes

[Anonyme]

Bonjour, je sèche sur le problème suivant :

Mettre sous forme trigonomètrique le nombre complexe suivant :

z = 1 + e^(ix) + e^(2ix) + e^(3ix) + e^(4ix) (x réel)

Je reconnais la somme des 5 premiers termes de la suite géomètrique U
définie par : pour tout n dans N, Un = e^(inx)
Mais puisque x est réel et qu'en particulier il peut prendre la valeur 0, la
raison de la suite serait alors égale a 1 donc je ne peux pas utiliser la
simplification de la somme de termes consécutifs d'une suite géomètrique. Je
ne vois vraiement pas comment procèder.

Toute indication ou réponse sera la bienvenue.
Merci d'avance a tous
Bonnes mathématiques
A bientôt

[Anonyme]

L'idée est bonne, et comme tu le dis toi-même, x peut prendre "en
particulier" la valeur 0.
Traite donc deux cas différents, le cas général si x est différent de 0 (
avec la somme d'une suite géométrique ), et le cas particulier si x=0 ( ça
se calcule à la main dans ce cas ).

--
Psyko Niko

"Statik-" a écrit dans le message de
news:cgn2gr$n6r$1@news-reader5.wanadoo.fr...
> Bonjour, je sèche sur le problème suivant :
>
> Mettre sous forme trigonomètrique le nombre complexe suivant :
>
> z = 1 + e^(ix) + e^(2ix) + e^(3ix) + e^(4ix) (x réel)
>
> Je reconnais la somme des 5 premiers termes de la suite géomètrique U
> définie par : pour tout n dans N, Un = e^(inx)
> Mais puisque x est réel et qu'en particulier il peut prendre la valeur 0,
la
> raison de la suite serait alors égale a 1 donc je ne peux pas utiliser la
> simplification de la somme de termes consécutifs d'une suite géomètrique.
Je
> ne vois vraiement pas comment procèder.
>
> Toute indication ou réponse sera la bienvenue.
> Merci d'avance a tous
> Bonnes mathématiques
> A bientôt
>
>
>

[Anonyme]

> Traite donc deux cas différents, le cas général si x est différent de 0 (
> avec la somme d'une suite géométrique ), et le cas particulier si x=0 ( ça
> se calcule à la main dans ce cas ).

Non, c'est le cas x/2.pi entier qu'il faut traiter à part, pas seulement
le cas où x=0.

[Anonyme]

en effet , si e(ix)=1 , z=1+1+1+1+1=5
e(ix)=cos(x)+isin(x)=1 => sin(x)=0 : x=k*pi et cos(x)=1 : x=2k*pi
donc pour x=2k*pi, z=5

sinon, z=((e(ix))^5-1)/(e(ix)-1)=(e(5ix)-1)/(e(ix)-1)
en factorisant en haut par e(5ix/2) et en bas par e(ix/2), on a :
z=(e(5ix/2)*(e(5ix/2)-e(-5ix/2)))/(e(ix/2)*(e(ix/2)-e(-ix/2)))
et comme e(ia)-e(-ia)=2i*sin(a) et e(5ix/2)/e(ix/2)=e(2ix), on peut écrire :
z=e(2ix)*sin(5x/2)/sin(x/2)
module(z)=|sin(5x/2)/sin(x/2)| et argument(z)=2x
on retrouve pour le module la condition sin(x/2) différent de 0 => x/2k*pi
=> x2k*pi

et voilà !!!


"Yves De Cornulier" a écrit dans le message de
news: cgn3ml$2hfj$1@nef.ens.fr...[color=green]
> > Traite donc deux cas différents, le cas général si x est différent de 0[/color]
([color=green]
> > avec la somme d'une suite géométrique ), et le cas particulier si x=0[/color]
( ça[color=green]
> > se calcule à la main dans ce cas ).
>
> Non, c'est le cas x/2.pi entier qu'il faut traiter à part, pas seulement
> le cas où x=0.[/color]

[Anonyme]

Merci a tous