Complexes

[Majaspique]

Oui mais ducoup, y'a-t-il un point de la droite qui ne fait pas partie de l'ensemble si z ≠ 2 ?

[Majaspique]

Ah et il y a une question 3 :
Soit M un point n'appartenant pas à E et distinct de A et B.
a. Démontrer que est réel.









Donc est réel ?

b. Interpréter géométriquement ce résultat.
Je ne vois vraiment pas quoi en déduire

c. Donner une construction de M'.

[aviateur]

Pour le a. visiblement si ton calcul est exact tu as bien un nombre réel

b. Tu en déduis un procédé géométrique de construction du point M'
En effet (de mémoire) M' est sur le cercle C(O,2)
Et ici il faut voir ce que veut dire que le rapport de 2 complexes est réel

z-2 représente le vecteur AM
et
z'+2 représente le vecteur BM'

Je te laisse deviner la suite (et la fin je crois bien)

[Majaspique]

Je suis pas sûr de tout comprendre. Si le rapport est réel, ça voudrait dire que le point qui en résulte est sur l'axe des abscisses ?

[pascal16]

oui, par exemple, est un réel, il est sur l'axe des abscisses

d'ailleurs, en restant en complexe :

en haut, c'est ||z-2||² et en bas 4Re(z-2), tous deux des nombres réels

[Majaspique]

Donc pour la question b. (Interpréter géométriquement ce résultat) ça serait est sur l'axe des abscisses ?

[pascal16]

oui pour le b

[aviateur]

C'est plus que cela qu'il faut voir
Si tu as deux vecteurs u et v d'affixe (que je note encore par abus) u et v et tel que leur rapport est réel cela signifie que u et v sont colinéaires, autrement dit leurs supports son //.

En en effet en polaire cela donne (r1 e^{ia1})/(r2 e^{i a2})=r1/r2 e^{i(a-b)} appartient à R ssi
(a-b)=0 modulo \pi ou encore a=b modulo \pi. C'est que qui caractérise la colinéarité.

[Majaspique]

Ce serait ça ducoup :
On sait que :

et où

Or :
avec

avec

Donc vecteur(MA) et vecteur(M'B) sont colinéaires et donc, (MA) // (M'B).

Pour tout point M du plan (O, vecteur(i), vecteur(j)), on a :
(MA) // (M'B) ;
;
A(2;0) et B(-2;0) ;
Donc M' est à l'intersection du cercle C et de la droite (M'B) // (MA).

C'est bon où dois-je rajouter/modifier quelque chose ?

[aviateur]

Oui c'est une autre façon de voir que les vecteurs sont colinéaires. Je pense que c'était le but du problème.

Donc M' est à l'intersection du cercle C et de la droite (M'B) // (MA).

C'est pas faux mais il faut dire
M' est à l'intersection du cercle C et de la droite passant par B et // à la droite (MA).

[Majaspique]

D'accord, merci pour votre aide !