Complexes

[Majaspique]

Bonjour,
voici l'exercice :

On considère le point A d'affixe 2 et le point B d'affixe -2. A tout point M différent de A, et d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' donné par z' = .
1: a: Démontrer que |z'| = 2
|z'| =
|z'| =
|z'| =
|z'| =
|z'| =
|z'| =
|z'| =
Est-ce juste ?

b: En déduire une indication sur la position du point M'.
On peut en déduire que comme |z'| = |z(A)|, les points A et M' sont confondus.
Est-ce juste ?

2 : Déterminer l'ensemble E des points M d'affixe z (z 2) tels que M' = B.
Là je bloque puisqu'on ne peut pas faire |z'| = -2.
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

[aviateur]

Bonjour
Pour le 1. on ne peut pas dire que c'est faux mais le passage de la 3ème égalité tu l'expliques comment?
Ensuite |2|=2 (tout le monde le sait) alors pourquoi passer par Rome pour aller de la Gare du Nord à la Gare Montparnasse?

Maintenant |z'|=2 : sait tu ce que c'est un module? Est ce que tu vois les complexes géométriquement?

[Majaspique]

Le passage à la 3ème égalité s'explique par :
|z'| =

|z'| = 2 veut dire que la distance OM' = 2 ?

[aviateur]

Non c'est la ligne d'après que je demande. Elle est bonne mais vu l'ensemble j'ai un gros doute sur ta compréhension. Tu est en quelle classe?

Maintenant OM'=2 cela veut dire que la distance de O à M' vaut 2. Cela veut dire quoi quant à la position du point M'

[Majaspique]

Je suis en Terminale S.
Pour le passage à la 3ème égalité je n'ai juste pas vu qu'il y avait un + en haut et un - en bas j'ai donc considéré les deux expressions comme parfaitement identique et j'ai simplifié. Mais puisque les deux expressions sont différentes, y'a-t-il un moyen de simplifier cela autrement ?

Cela veut dire que M' est quelque part sur le cercle C(O;2) ?

[aviateur]

Je ne m'occupe pas du facteur 2 pour l'instant
tu as un rapport (x-2+i y)(x-2-i y) ; tu dois voir que les deux nombres sont conjugués donc ils ont le même module
et comme le module d'un quotient c'est le quotient des modules, il vient que ce rapport est de module 1.
Multiplié par 2 tu as le résultat.
Pour le cercle c'est cela.

[Majaspique]

donc si je fais :
|z'| =
|z'| =
|z'| =
la simplification est justifiée ?

Et pour la question 2, pourriez-vous m'aiguiller ?

[Pisigma]

Bonjour,

[aviateur]

Non elle n'est pas justifiée à ton niveau. La justification je l'ai faite littéralement mais dans la pratique
on l'écrit symboliquement, c'est exactement ce que Pisigma a écrit.

[Majaspique]

Mais |z(barre)-2|= conjugué de |z(barre)-2| = |z + 2| non ?
donc |z'| =
Quant-à la question 2, pourriez-vous m'aiguiller ?

[Pisigma]

ton "égalité " de module est fausse; tu peux vérifier en calculant le module dans les 2 membres de ta relation

[aviateur]

en latex conjugué cela s'écrit \bar{z}

Maintenant d'où sors-tu tes égalités , la première je veux bien, mais la deuxième???

La question 2. tu l'as mets en équation :
z'=-2 puis remplacer z' en fonction de z et résoudre l'équation.

[Majaspique]

ça serait alors = = |z - 2| ?
Mais est-ce que = ?

Pour la question 2 ce serait :
L'ensemble E des points M d'affixe z (z 2) tels que M' = B c'est à dire, tel que z' = -2 est le cercle C'(O;2) ? Ou ce serait OM' = OB donc la médiatrice à [M'B] privée de 2?

[aviateur]

Pour tes 2 lignes c'est vrai.

Pour ta réponse à la question 2 il me semble l'avoir fait tout à l'heure mais j'ai oublié.
De mémoire l'ensemble des solutions est une droite.
Mais je ne comprends pas bien tes conclusions. Est ce que vraiment tu raisonnes avec logique?

Ici ce n'est pas la conclusion qui est important pour toi, c'est les étapes pour y arriver.
Je pense qu'il faut que tu fonctionnes pas à pas.

D'abord essayes de résoudre l'équation z'=-2 (en ayant remplacer z' en fonction de z). On ne sait pas ici, si tu l'as bien fait. N'ayant qu'une espèce de conclusion on ne peut rien dire si on ne sait pas comment tu as résolu ton équation.

[Majaspique]

Je ne comprends pas vraiment car si je résous z' = -2 ça donne :









Peut-on en tirer une conclusion ? Je suppose que c'est une équation de droite de la forme ax+by+c=0 où b = c = 0 et a = 1. Donc l'ensemble E des points M d'affixe z (z -2) tels que M' = B serait la droite d'équation x = 1 ?

[aviateur]

Non tu as fait une erreur les nombres 4 se s'éliminent pas.

[Majaspique]

Au temps pour moi donc c'est :










Donc l'ensemble E des points M d'affixe z ) tels que M' = B est la droite d'équation x-4=0 ?

[pascal16]

2x=4, c'est pas x=4

[Majaspique]

Ah oui j'avais gardé la simplification du 0. Mais pour l'ensemble c'est juste si je modifie le x-4 par x-2 ?

[pascal16]

oui, on peut l'écrire aussi Re(z)=2, sachant que z ≠ 2.

Questions 1 et 2 :
(on) a calculé que pour un point du plan complexe, différent de A, son image était dans le cercle de centre 0 et de rayon 2. C'est une inclusion, c'est peut-être pas le cercle tout entier.

Question 3) :
On recherche l'antécédents d'un point, une condition nécessaire, c'est que sa norme soit de 2, car sinon, on sait qu'il n'a pas d'antécédent.
On cherche les antécédents s'ils existent de -2, qui est bien de norme 2, ses antécédents vont être une partie du plan (un ensemble de solutions).