Complexes

[Patrickff]

1. Un triangle
a) On considère les points A, B et C d’af;)xes respectives a = 2, b =3+i
;)
3 et c = 2i
;)
3.
Déterminer une mesure de l’angle ABC !.
b) En déduire que l’af;)xe ;) du centre ;) du cercle circonscrit au triangle ABC est 1 +i
;)3.
2. Une transformation du plan
On note (zn)la suite de nombres complexes, de terme initial z0 = 0, et telle que :
zn+1 = 1 +i
;)3
2
zn + 2, pour tout entier naturel n.
Pour tout entier naturel n, on note An le point d’af;)xe zn.
a) Montrer que les points A2, A3 et A4 ont pour af;)xes respectives :
3 +i
;)3, 2+2i
;)3 et 2i
;)3.
On remarquera que : A1 = A, A2 = B et A4 = C.
b)Comparer les longueurs des segments[A1A2] [A2A3] et [A3A4].
c) Établir que pour tout entier naturel n, on a :
zn+1 ;);) = 1 +i
;)3
2 (zn ;);)).
où ;) désigne le nombre complexe dé;)ni à la question 1.b).

d)Justi;)er que, pour tout entier naturel n, on a : An+6 = An. Déterminer l’af;)xe du point A2012.
3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non
fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Déterminer, pour tout entier naturel n, la longueur du segment [AnAn+1].

Voilà, j'ai cet exercice à faire pour la rentrée. J'ai fais toute les questions sauf la 2d et la 3 je bloque je n'y arrive pas j'aurai besoin d'aide! Merci d'avance.

[Manny06]

1. Un triangle
a) On considère les points A, B et C d’af;)xes respectives a = 2, b =3+i

3 et c = 2i

3.
Déterminer une mesure de l’angle ABC !.
b) En déduire que l’af;)xe du centre du cercle circonscrit au triangle ABC est 1 +i
3.
2. Une transformation du plan
On note (zn)la suite de nombres complexes, de terme initial z0 = 0, et telle que :
zn+1 = 1 +i
3
2
zn + 2, pour tout entier naturel n.
Pour tout entier naturel n, on note An le point d’af;)xe zn.
a) Montrer que les points A2, A3 et A4 ont pour af;)xes respectives :
3 +i
3, 2+2i
3 et 2i
3.
On remarquera que : A1 = A, A2 = B et A4 = C.
b)Comparer les longueurs des segments[A1A2] [A2A3] et [A3A4].
c) Établir que pour tout entier naturel n, on a :
zn+1 ;) = 1 +i
3
2 (zn ;)).
où désigne le nombre complexe dé;)ni à la question 1.b).

d)Justi;)er que, pour tout entier naturel n, on a : An+6 = An. Déterminer l’af;)xe du point A2012.
3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non
fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Déterminer, pour tout entier naturel n, la longueur du segment [AnAn+1].

Voilà, j'ai cet exercice à faire pour la rentrée. J'ai fais toute les questions sauf la 2d et la 3 je bloque je n'y arrive pas j'aurai besoin d'aide! Merci d'avance.

revois l'écriture des racines carrées et des fractions....c'est incompréhensible

[Manny06]

revois l'écriture des racines carrées et des fractions....c'est incompréhensible

si le coefficient multiplicateur est bien k= 1/2 +iV3/2 c'est à dire exp(ipi/3) verifie que k^6=1

[Patrickff]

Alors:
- a=2 b=3+i;)3 et c=2i;)3
- l'affixe w du centre est égale à 1+i;)3
- zn+1= (1+i;)3)(zn+2)/2
- pour la question a il faut trouver :
-3+i;)3
-2+2i;)3
-2i;)3
et enfin à la question c: zn+1-w= (1+i;)3)(zn-w)/2

[Manny06]

Alors:
- a=2 b=3+i;)3 et c=2i;)3
- l'affixe w du centre est égale à 1+i;)3
- zn+1= (1+i;)3)(zn+2)/2
- pour la question a il faut trouver :
-3+i;)3
-2+2i;)3
-2i;)3
et enfin à la question c: zn+1-w= (1+i;)3)(zn-w)/2

si zn+1=((1+iV3)/2)zn+2

c'est à dire zn+1=kzn+2
alors zn=(k^6)zn+6
il suffit de verifier k^6 =1 pour avoir An=An+6

[Patrickff]

j'ai rien compris

[Patrickff]

Pourquoi as-tu introduit k?