Complexes : forme trigonométrique et algébrique.

[malaikadu57]

Bonjour à toutes et à tous,

Je bloque sur cet exo :

Soient les nombres complexes : z1 = (1+i)²/(1-i)^3 et z2 = (2i-2racine de 3)/(4i+4).

Ecrire z1 et z2 sous forme trigonométrique puis sous forme algébrique.

Alors pour z1 :

(1+i)² = 1+i²+2i = 1-1+2i=2i.

(1-3)^3 = (1-1)²(1-i)=(1+i²-2i)(1-i)=(1-1-2i)(1-i)=-2i(1-i)=-2i+2i²=-2i-2=-2(1+i)

z1=(-2i)/(2(1+i))=-i/(1+i)=-i/[(1+i)(1-i)]=(-i+i²)/2
z1=-1/2-i1/2 ( forme algébrique)

Module z1 = racine 1/4 + racine 1/4 = (racine 2)/2

Ensuite je dois calculer l'argument pour pouvoir trouver la forme trigonométrique et je n'y arrive pas.

Merci d'avance pour votre aide.

[Florélianne]

[font=Palatino Linotype]Bonjour,

[/font][font=Palatino Linotype]1+i)² = 1+i²+2i = 1-1+2i=2i. juste

(1-[/font][font=Palatino Linotype]i[/font][font=Palatino Linotype])^3 = (1-[/font][font=Palatino Linotype]i[/font][font=Palatino Linotype])²(1-i)=(1+i²-2i)(1-i)=(1-1-2i)(1-i)=-2i(1-i)=-2i+2i²=-2i-2=-2(1+i)

z1=(-2i)/(2(1+i))=-i/(1+i)=-i(1-i)/[(1+i)(1-i)]=(-i+i²)/2 faux
z1= (-i+i²)/2 = (-1-i)/2 = -(1+i)/2 ( forme algébrique)

[/font][font=Palatino Linotype]Module z1 = [/font][font=Palatino Linotype]|z1|= |1+i|/2 = (V2)/2
z1 = (V2)/2 [-(1+i)/V2] = (V2)/2 [ -(V2)/2 - (iV2)/2]
donc arg(z1) = - 3pi/4 mod [2pi][/font]

z,= (V2 /2)e^-3ipi/4

z2 = (2i-2racine de 3)/(4i+4)
z2 = 2([font=Palatino Linotype]i-V3)/4(i+1) = (i-V3)/2(1+i) = (i-V3)(1-i)/4 = (i-i²-V3 -iV3)/4
z2 = (i+1 - V3 -iV3)/4 = (1-V3)/4 - i(1-V3)/4 = [(1-V3)/4](1-i)

|z2| = [(V3 -1)/4 ] |1-i| = [/font][font=Palatino Linotype] [(V3 -1)/4 ] V(1+1) = [/font][font=Palatino Linotype] [(V3 -1)/4 ]V2
|z2| = V2 (V3 - 1)/4

[/font][font=Palatino Linotype]z2 = [/font][font=Palatino Linotype][V2 (V3 - 1)/4] (1-i)/V2 = [/font][font=Palatino Linotype][V2 (V3 - 1)/4]([/font]1/V2 -i/V2)
z2 = [[font=Palatino Linotype]V2 (V3 - 1)/4](V2 /2 - iV2 /2)
arg (z2) = -pi/4 mod [2pi]

[/font]z2= [[font=Palatino Linotype]V2 (V3 - 1)/4] e^-ipi/4

Très cordialement
[/font]