Complexes, équation !

[poipoi]

Bonjour tout le monde,

Je dois déterminer les nombres complexes z:=a+ib avec a,b réels tels que

iz + i = z^2 - 1

J'ai pensé à 2 méthodes pour résoudre, mais je doute de moi !

1ere méthode)

Traiter l'équation comme une équation du second degré

z^2 - iz - 1 - i = 0

Le delta vaut : 5 + 4i et je cherche ses racines carrées grâce au système suivant :

(x + iy)^2 = 5 + 4i
x^2 + y^2 = rac (5^2 + 4^2)

Dans ce cas, j'obtiens :

x = rac ((5 + rac (41)) / 2)
et le y associé.

Je trouve que les solutions n'ont pas une belle tête...
D'habitude, les solutions du prof sont plus simples...

2e méthode)
Je remplace directement z par (a+ib) dans l'équation

i(a+ib) + i = (a+ib)^2 - 1

Et en isolant les parties réelles et imaginaires des 2 côtés, j'arrive à un système à résoudre :

-b = a^2 - b^2 - 1
a + 1 = 2 ab

Et je n'arrive pas à résoudre ce système...


Pourriez-vous m'aiguiller ?

[Help]

As-tu essayé de factoriser ton expression initiale ?

[Help]

Sinon, ta première méthode marche, mais tu t'es trompé dans le calcul du delta donc tout le reste devient compliqué (et faux)

[poipoi]

Le delta vaut

(-i)^2 - 4 . 1 . (-1 - i) = 1 - 4 . (-1 - i) = 1 + 4 + 4i = 5 + 4i

Non ?

[Dinozzo13]

Salut !

Moi perso, j'aurai factorisé :++:



ou

[poipoi]

Ah, bien vu pour la factorisation !

C'est parce que j'ai un autre exercice du même type qui n'est pas factorisable de la même manière :

1 - i . z^2 = z - i

Ici, le delta vaut -3 + 4i et la résolution est facile !

Merci encore !

[Help]

A propos du calcul du Delta, (-i)^2 ne fait pas +1...

[Dinozzo13]

Oui,

Rappel :

[mathelot]

je cherche ses racines carrées grâce au système suivant :

(x + iy)^2 = 5 + 4i
x^2 + y^2 = rac (5^2 + 4^2)

il y a une astuce classique

la 1ère égalité entraine sur les modules

et sur les parties réelles

et xy=2>0 (même signe)