DM complexes et ensembles de points (Term S)

[Apocaniche]

Bonjour! Premier message sur ce forum, ca se fete :id:

J'ai un DM à faire pour jeudi, et je request un peu d'aide svp
Voici l'énoncé :

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (O,OU->,OV->), on considère les points A et B d'affixes respectives -4 et 4.
On définit l'application f qui, à tout point M d'affixe z et différent de A associe le point M' d'affixe z'=z(barre)[z+4]/z(barre)+4

1) Déterminer l'ensemble des points invariants par f à savoir l'ensemble des points M tels que M=M'.
Donc la je dois trouver l'ensemble tel que z=z'.
Question résolue, j'ai trouvé que y=0 donc les invariants sont les réels.

2)a) Calculer l'affixe c' du point C', image par f du point C d'affixe c=-5+i
J'utilise la formule du z' et trouve -1+5i

b) Montrer que les droites (AC) et (BC') sont parallèles.
J'ai utilisé les vecteurs, et trouver que BC'-> = 5AC->, ils sont donc colinéraires et parallèles.

c) Ecrire le nombre complexe c'-c/a-c sous forme exponentielle.
Interpréter graphiquement le résultat.
On trouve 4i, on calcule le module et le cos alpha ainsi que le sin alpha, on trouve que alpha = pi/2.
Donc sous forme expo ca donne 4ei pi/2, on peut interpréter en disant que (CC') est perpendiculaire à (CA).

3) On cherche désormais à généraliser les propriétés établies au 2) afin d'obtenir une construction de l'image M' par f d'un point M quelconque du plan.
a) Montrer que pour tout nombre complexe distinct de -4, z'-4/z+4 est un réel.
En calculant avec le z', j'arrive à (x²+y²-16) / (x+4)²+y², c'est donc bien un réel.

b) Montrer que les droites (AM) et (BM') sont parallèles.
Voila ou je bloque! voici mes calculs pour l'instant :
si (AM) parallèle à (BM'), alors
z-zA = z'-zB
z-(-4)=z'-4
z+4 = z(barre)[z+4]/ z+4 ) - 4
Et la je bloque, je veux arriver à prouver l'égalité pour que les deux droites soit parallèles, mais je n'y arrive pas!

c) Soit M un point quelconque non situé sur la droite (AB).
Montrer que les droites (MM') et (MA) sont perpendiculaires.

4) Soit M un point distinct de A. Déduire des questions précédentes une construction du point M' par f.

5) Réaliser une figure et construire le point D', l'image du point D d'affixe 1+3i

Merci d'avance pour votre aide!

[el niala]

pour débloquer 3b)

c'est une conséquence directe de 3a)

que représente z+4 comme affixe de vecteur ? et z'-4 ? et comme le quotient est un réel, quel est son argument ? et donc en interprétant géométriquement...

[romani01]

Bonjour.
Si par exemple sont colinéaires on a .L'égalité n'est pas comme tu l'as écrite.Suis l'indication de El niala.
Indication pour la question 4.
Tu calcules .Tu dois trouver un nombre imaginaire pur.
Bon courage,sauf erreur de ma part.

[tototo]

Bonjour! Premier message sur ce forum, ca se fete :id:

J'ai un DM à faire pour jeudi, et je request un peu d'aide svp
Voici l'énoncé :

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (O,OU->,OV->), on considère les points A et B d'affixes respectives -4 et 4.
On définit l'application f qui, à tout point M d'affixe z et différent de A associe le point M' d'affixe z'=z(barre)[z+4]/z(barre)+4

1) Déterminer l'ensemble des points invariants par f à savoir l'ensemble des points M tels que M=M'.
Donc la je dois trouver l'ensemble tel que z=z'.
Question résolue, j'ai trouvé que y=0 donc les invariants sont les réels.

2)a) Calculer l'affixe c' du point C', image par f du point C d'affixe c=-5+i
J'utilise la formule du z' et trouve -1+5i

b) Montrer que les droites (AC) et (BC') sont parallèles.
J'ai utilisé les vecteurs, et trouver que BC'-> = 5AC->, ils sont donc colinéraires et parallèles.

c) Ecrire le nombre complexe c'-c/a-c sous forme exponentielle.
Interpréter graphiquement le résultat.
On trouve 4i, on calcule le module et le cos alpha ainsi que le sin alpha, on trouve que alpha = pi/2.
Donc sous forme expo ca donne 4ei pi/2, on peut interpréter en disant que (CC') est perpendiculaire à (CA).

3) On cherche désormais à généraliser les propriétés établies au 2) afin d'obtenir une construction de l'image M' par f d'un point M quelconque du plan.
a) Montrer que pour tout nombre complexe distinct de -4, z'-4/z+4 est un réel.
En calculant avec le z', j'arrive à (x²+y²-16) / (x+4)²+y², c'est donc bien un réel.

b) Montrer que les droites (AM) et (BM') sont parallèles.
Voila ou je bloque! voici mes calculs pour l'instant :
si (AM) parallèle à (BM'), alors
z-zA = z'-zB
z-(-4)=z'-4
z+4 = z(barre)[z+4]/ z+4 ) - 4
Et la je bloque, je veux arriver à prouver l'égalité pour que les deux droites soit parallèles, mais je n'y arrive pas!

c) Soit M un point quelconque non situé sur la droite (AB).
Montrer que les droites (MM') et (MA) sont perpendiculaires.

4) Soit M un point distinct de A. Déduire des questions précédentes une construction du point M' par f.

5) Réaliser une figure et construire le point D', l'image du point D d'affixe 1+3i

Merci d'avance pour votre aide!

Pour montrer que deu droites sont parallèle (AM) et (BM') arg( (z-zA)/(z'-zB)) = pi modulo pi

[Apocaniche]

Tout d'abord merci pour vos réponses :)


Bien sur c'est evident que pour que ces droites soient parallèles, z-zA / z'-zB = pi
On a donc arg(Z)= (AM,BM') = pi
Mais comment le prouver?

Edit : pouvez vous me dire si ca suffit de dire que :
(AM) parallele a (BM')
<-> (MA,M'B) = pi (2pi)
<-> (AM,BM') = pi (2pi)
<-> (z-zA) / (z'-zB) = pi (2pi)
<-> (z+4) / (z'-4) = pi (2pi)

Si non, je vois pas :/

[Apocaniche]

Jai oublié de préciser que donc en arrivant a z+4 / z-4 , c'est le résultat de la 3)a), comme c'est un réel, le quotient est possible. (jai juste inverser AM et BM')

C'est bon?

[el niala]

comme c'est un réel, le quotient est possible

:hum:

mais s'il est complexe, il existe aussi, son résultat est un complexe !

souviens-toi qu'un nombre complexe possède 2 caractéristiques :

- son module (qui est un réel positif)
- son argument (qui est un angle orienté)

si ce dernier vaut , ce complexe est un réel

pour la démonstration du parallélisme, tu la rédiges à l'américaine ? en commençant par la conclusion ?

[Apocaniche]

Je m'etais mal exprimé pardon, pour tout nombre complexe distinct de -4, il est réel, et le quotient est réel aussi :)

Mais sinon, comment que je calcule le module alors?
Je sais pertinament que l arg c'est pi(modulo pi) mais comment le démontrer? :(

Au fait, c'est modulo pi et pas 2 pi ?

Effecgivement, je l ai fait a l'envers, je vois pas du tout comment prouver que z'-4 / z+4 = pi :s

[el niala]

1) on ne te demande pas de calculer le module voyons !

2) l'argument, tu le connais, puisque ce quotient est un réel {cf le résultat 3a)}

3) non c'est modulo
l'argument principal d'un réel positif est égal à 0
l'argument principal d'un réel strictement négatif est égal à

[Apocaniche]

Excuse moi, j'etais pas reveillé, j'ai resolu l enigme!

Je part de z'-4 / z+4, d'après 3)a il est reel pour tout complexe, donc son argument est 0(modulo 2pi) ou pi (modulo 2pi).
Donc arg (z'-zB / z-zA) = 0(modulo 2pi) ou pi(modulo 2pi) car c'est un reel
Donc arg (z'-zB / z-zA) = 0(modulo pi)
Et donc (BM') parallèle a (AM) !

Ensuite pour la 3)c), on doit montrer que (MM') est perpendiculaire a (AM), donc
On doit trouver z'-z / z-zA = pi/2 (modulo 2pi)
Donc il faut que ce nombre soit imaginaire pur.

J'avance? :)

Merci pour ta patience el niala, en me relisant j'ai fais une syncope :<

[el niala]

On doit trouver z'-z / z-zA = pi/2 (modulo 2pi)
Donc il faut que ce nombre soit imaginaire pur.

presque, c'est argument(z'-z / z-zA) = pi/2 (modulo pi)

procède comme au 3a) tu devrais trouver directement un imaginaire pur

[Apocaniche]

Merci bien, je m'y attèle, comme quoi j'étais toujours pas réveillé :(