A et b complexes à déterminer

[noix2choco]

On considère l'équation z3-(4+i)z2+(7+i)z-4=0
1) Montrer que (E) admet une solution réelle notée z1.
ici, j'ai trouvé z1= 1
2)déterminer les deux complexes a et b tels que pour tout nombre z on ait:
z3-(4+i)z2+(7+i)z-4=(z-z1)(z-2-2i)(az+b)
là je bloque: j'ai tenté de développer (z-z1)(z-2-2i)(az+b) mais ca donne un truc monstrueux, j'ai essayé en développant (z-z1)(z-2-2i) avec z1 = 1 mais après je sais plus comment faire...help! :cry:

[kidibou]

T es pourtant bien parti.
Tu developpes le membre de droite et tu identifies chaque coefficient de Z^3, Z², z, et les termes constants.
Tu as apres un systeme a resoudre.

[maturin]

(z-1)(z-2-2i)(az+b)=az^3+(-a-2a-2ai+b)z^2+(2a+2ai-b-2b-2bi)z+(2i+2)b

si tu indentifies les termes en z3 tu trouves facilement a
si tu identifies les termes sans z tu trouves facilement b

après tu peux vérifier que les autres termes sont bien identiques aec tes a et b trouvés, ça prouvera que tu pouvais bien factoriser par (z-2-2i)

[noix2choco]

je trouve a=1 (toi aussi rassure moi!) et b= 2+ib...c'est impossible! :hum:

[maturin]

alors pour a je suis d'accord :)

sinon pour b moi je trouve -1+i
si tu identifies les termes en z² en remplacant a par 1 c'est assez immédiat
-3-2i+b=-4-i donc b=-1+i
sinon pour les termes en z^0
(2i+2)b=-4
b=-4/(2i+2)=-2/(i+1)=-2(1-i)/((1+i)(1-i))=-2(1-i)/(1+1-i+i)=-1+i

j'ai pas fai tles termes en z mais ça doit aussi marcher.

[noix2choco]

ok super! je suis si fatiguée que les exercices avec des gros développements me font peur... :marteau:
donc après si je veux résoudre E, j'ai comme ensemble de solutions: {1;2+2i;1-i} C'est bien ça? :hein:

[maturin]

oui c'est ça !