Complexe Terminale S

[Chrisman]

Bonjour, je viens ici poser un problème que je rencontre dans un exercice.

Soit z un nombre complexe de module 1.
Démontrer que le nombre complexe u = (1+z+z²) / z est un réel.
J'ai essayé de poser z = x+iy et ensuite le remplacer dans u mais à la fin je trouve une partie réelle et une partie imaginaire ce qui veut dire que u n'est pas un réel.


sinon j'ai pensé dans la partie réelle il y a : x²+y²-1 mais le module de z = 1 donc x²+y²-1 = 0 ce qui veut dire que z est un réel mais ça me parait pas être la solution de cet exercice :S. Y'a t-il quelqu'un pour m'éclairer?

[pgeod]

(1 + z + z²) / z est un réel (z /= 0)
<=> (1 + z + z²) / z = (1 + z + z²)bar / zbar
<=> (1 + z + z²) zbar = z (1 + z + z²)bar
.......... après développement et simplification
<=> (zbar - z) (|z|² - 1) = 0
<=> |z| = 1 ou z = zbar
<=> |z| = 1 ou z est réel

et donc |z| = 1 => (1 + z + z²) / z est un réel

...

[Chrisman]

Désolé j'ai pas très bien compris ce que tu as écris :S

[pgeod]

J 'ai écrit cette propriété : Z est réel <=> Z = Zbar (conjugué de Z)

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