[Licence 1ère année] Complémentaire

[Anonyme]

Bonjour j'ai un doute sur l'équivalence suivante :
Soient E un ensemble et A,B des parties quelconques de E.
Est ce que l'on a toujours : A = B <=> (complémentaire de A dans E ) = (
complémentaire de B dans E ), et si non pourquoi ?
Merci d'avance je vous serais fort reconnaissant d'une aide ou réponse car
j'utilise fréquemment cette équivalence dans les exercices et elle me
simplifie parfois des problèmes,j'aimerais donc être certain de son
exactitude.
Bonnes mathématiques.
Yohann.

[Anonyme]

Si A = B, alors C(A) = C(B) (normal puisque A = B )
Et si C(A) = C(B), alors d'après la ligne précédente, C(C(A)) = C(C(B)) donc
A = B...

Voilà !

Charlie

"Statik-" a écrit dans le message de
news:celk87$bih$1@news-reader2.wanadoo.fr...
> Bonjour j'ai un doute sur l'équivalence suivante :
> Soient E un ensemble et A,B des parties quelconques de E.
> Est ce que l'on a toujours : A = B (complémentaire de A dans E ) = (
> complémentaire de B dans E ), et si non pourquoi ?
> Merci d'avance je vous serais fort reconnaissant d'une aide ou réponse
car
> j'utilise fréquemment cette équivalence dans les exercices et elle me
> simplifie parfois des problèmes,j'aimerais donc être certain de son
> exactitude.
> Bonnes mathématiques.
> Yohann.
>
>
>

[Anonyme]

Statik- a écrit:
> Bonjour j'ai un doute sur l'équivalence suivante :
> Soient E un ensemble et A,B des parties quelconques de E.
> Est ce que l'on a toujours : A = B (complémentaire de A dans E ) = (
> complémentaire de B dans E ), et si non pourquoi ?
> Merci d'avance je vous serais fort reconnaissant d'une aide ou réponse car
> j'utilise fréquemment cette équivalence dans les exercices et elle me
> simplifie parfois des problèmes,j'aimerais donc être certain de son
> exactitude.

C'est une 'tautologie' car la définition de 'équivalent' est quasiment
la même chose que cette assertion. En effet l'énoncé "x est élément de
A" est, pour un élément x de E, soit vrai (1) soit faux (0). Appelons le
a, variable à valeurs dans V={0,1} (deux valeurs, pas de confudion avec
un iintervalle ou autre chose). De même pour l'énoncé "x est élément de
B", que nous allons appeler b.
La loi de composition sur l'ensemble V définie par l'écriture 'a b'
a pour table
a 0 1
b=0 1 0
b=1 0 1

elle définit la variable (Soit x est élément de A soit il est élément
de B) ; sa négation est (Soit x est élément de (complémentaire de A dans
E ) soit il est élément de (complémentaire de B dans E ). On peut voir
aussi cela comme le 'ou exclusif' ou la 'différence entre parties de E,
notées parfois delta majuscule : A xor B = complémentaire de (A inter B)
dans (a union B)

Bref, ton énoncé est parfatement juste, et justifiable, et justifié.

[Anonyme]

Merci pour vos réponses !

[Anonyme]

Statik- wrote:

> Bonjour j'ai un doute sur l'equivalence suivante :
> Soient E un ensemble et A,B des parties quelconques de E.
> Est ce que l'on a toujours : A = B (complementaire de A dans E ) = (
> complementaire de B dans E ), et si non pourquoi ?
> Merci d'avance je vous serais fort reconnaissant d'une aide ou reponse car
> j'utilise frequemment cette equivalence dans les exercices et elle me
> simplifie parfois des problemes,j'aimerais donc etre certain de son
> exactitude.
> Bonnes mathematiques.
> Yohann.
>
>
>

Oui l'equivalence est juste.
Le passage au complementaire etant une application decroissante
pour l'inclusion, on a : A inclus dans B => compl. de B inclus dans
compl. de A.
On a donc A=B (i.e. A inclus dans B et B inclus dans A) =>
compl. de B = compl. de A.
Et puisque le complementaire du complementaire de A est A,
on en déduit l'equivalence.

D.

[Anonyme]

"Statik-" a écrit dans le message de
news:celk87$bih$1@news-reader2.wanadoo.fr...
> Bonjour j'ai un doute sur l'équivalence suivante :
> Soient E un ensemble et A,B des parties quelconques de E.
> Est ce que l'on a toujours : A = B (complémentaire de A dans E ) = (
> complémentaire de B dans E ), et si non pourquoi ?

L'application f de P(E) dans P(E) qui à tout A associe son complémentaire
est involutive donc bijective (fof=Id_P(E))