On compare f(x) et f(x') en étudiant le signe de leur diff

[yann06]

Bonjour ,

dans cette démonstration
on compare f(x) et f(x') en étudiant le signe de leur différence





pouvez - vous m'aidez pour émettre des hypothèses ??

[Ben314]

Salut,
a) On "émet" pas des "hypothèses" mais des "conjectures" (cherche dans le dico. "hypothèse" et "conjecture" pour comprendre pourquoi)
b) Ca serait on ne peut plus "pas con" de factoriser le résultat que tu obtient vu que le signe d'un produit dépend du signe des facteurs du produit : si on a des facteur "simples", alors on a facilement le signe du bidule.
c) Vu que f(x)-f(x') est très clairement égal à zéro lorsque x'=x, il y a systématiquement fort à parier qu'on puisse "naturellement" mettre x-x' en facteur dans l'expression de f(x)-f(x') et ceci quelque soit la fonction f.
d) Le signe de x-x', ça ne coute pas grand chose de supposer par exemple que c'est positif vu que ça correspond simplement à supposer qu'au début du calcul, on a considéré que le plus grand des deux réels qu'on nous donnait on l'appelle x et que le plus petit des deux on l'appelle x'.
e) Bref, il reste à regarder le signe de "l'autre facteur" et en général, pour se faire, on regarde ce qu'il se passe lorsque x et x' sont "quasiment égaux" de façon a avoir la même condition sur x et x' (du style si x et x' sont tout les deux plus grand que ??? alors c'est positif)

[yann06]

Bonjour BEN 314

merci beaucoup de m'avoir répondu

alors je factorise
ce qui donne

j'ai donc un produit
pour la première expression (x' - x)
si je prends x' = 1 et x = 1 ---> 1 - 1 =0
si je prends x' = 1 et x = 2 ------> 1 - 2 = - 2
c'est négatif
si je prends x' = 0 et x = 1 -------> 0 - 1 = -1
c'est encore négatif
si je prends x' = 2 et x = 1 ---------> 2 - 1 =1
c'est positif

donc je pars de l'hypothèse : si x' > x alors (x'-x) >0 et dans ce cas f(x') - f(x) a le meme signe que

[yann06]

Bonjour

lorsque x et x' sont égaux alors(x'- x) > 0

lorsque x ' > x alors (x' - x) > 0

[Ben314]

Concernant la factorisation, c'est bon.
A mon avis, concernant le signe de x'-x, c'est pas la peine de s'appesantir dessus : soit tu dit que tu fait le choix au début de prendre x'>x et donc que x'-x>0, soit tu dit rien et de toute façon, le signe il n'y a quasiment rien à en dire : c'est positif si x'>x et négatif si x'<x (le cas x'=x est sans intérêt vu que dés le départ, c'est complètement évident que f(x')-f(x) ça fait 0 si x'=x).
Bref, le truc à étudier, c'est a(x'+x)+b et a mon avis, c'est là que tu as intérêt à raisonner comme si on avait x'=x pour n'avoir qu'une seule variable. Ca donne 2ax+b et il faut regarder pour quels x c'est positif, sauf que pour "résoudre" 2ax+b>0, il faut connaitre le signe de a donc il faut faire deux cas selon que a>0 ou que a<0 (à mon avis, pour pas se faire c... on va dire qu'on suppose que a est non nul)

Commence peut-être à regarder sur un "cas concret", par exemple a=-2 et b=3 pour fixer les idées.

[yann06]

Bonsoir BEN 314

merci beaucoup de m'aider pour cette démonstration

si x' = x
je prends x ' = 1 donc x' = x = 1
je remplace dans



ce qui me donne



en fait je ne vois pas bien : j'ai du mal à démarrer
peux tu m'aider ??

yann

[Ben314]

Bon, ben déjà 1-1, ça fait pas 2 mais ça fait 0 et ça te donne une fois de plus que f(x)-f(x)=0 qui est sans le moindre intérêt.
Donc, de nouveau, cet histoire de faire "comme si" on avait x=x', ça n'est utile que et exclusivement que pour essayer de déterminer le signe du facteur a(x+x')+b et surtout pas pour étudier le signe du produit.
Donc ici, en prenant x=x'=1, ca te conduit à regarder le signe de 2a+b et à différencier plusieurs cas selon les valeurs de a et b : il faut bien comprendre que, dans ce type de calculs, a et b ne sont pas des "variables", c'est à dire que c'est les même du début à la fin de l'énoncé.

Donc je le redit : si tu veut "fixer les idées", c'est pas à x et x' qu'il faut attribuer des valeurs, mais à a et à b.
Par exemple, si f(x)=-2x²+3x+5 alors a=-2 , b=3 , c=5 et les calculs que tu as fait montrent que
f(x')-f(x)=(x'-x)[-2(x+x')+3] et il faut étudier le signe de -2(x+x')+3 qui, lorsque x'=x est égal à -4x+3.
Pour quelles valeur de x a-t-on -4x+3>0 ?

[yann06]

Bonsoir BEN 314

Ok je prends l'exemple f(x) = - 2 x2 + 3x + 5
a = - 2 , b = 3 et c = 5
jusque là , Ok
je reprends l'expression

qui devient

il faut étudier le signe de - 2 (x' + x ) + 3 qui devient , lorsque x' = x , -4 x + 3

si je prends x = 2 par exemple alors x' = x = 2

je remplace dans - 2 (x' - x) + 3
et je trouve - 2 ( 0 ) + 3

désolé , mais je n'ai pas mis le turbo (aujourd'hui)

[Ben314]

... faut étudier le signe de - 2 (x' + x ) + 3 qui devient , lorsque x' = x , -4 x + 3
si je prends x = 2 par exemple alors x' = x = 2
je remplace dans - 2 (x' - x) + 3

C'est pas x'-x, c'est x'+x.
Et, autant remplacer a et b par des "vraies valeurs", c'est pas con pour comprendre comment ça marche, autant remplacer x et x' par des "vraies valeurs", c'est pas forcément super subtil pour la compréhension du bidule.

Donc... on reprend...
Si f(x)=-2x²+3x+5 alors f(x')-f(x)=(x'-x)[-2(x+x')+3] et -2(x+x')+3, lorsque x'=x, ça vaut -2(x+x)+3=-4x+3.
Ensuite, sauf erreur, la résolution de l'inéquation -4x+3>0, c'est du niveau collège :
-4x+3 est (strictement) positif lorsque x est ....

[yann06]

Bonsoir BEN 314

tout d'abord , merci pour le temps que tu me consacres
j'apprécie beaucoup

-4x + 3 > 0
-4 x > 3
x > 3 / 4

[yann06]

je ne comprends pas - 2 (x' + x) + 3 , lorsque x' = x , ça vaut - 2 (x' + x) + 3 = - 4x + 3

si x' = x
donc si x'= 0 alors x = 0
si x' = 1 alors x = 1 puisque x' = x
si x' = 2 alors x = 2 puisque x' = x
etc ........

donc si je remplace x' et x par des réels
je n'ai plus de x
j'aurais toujours quelque chose comme - 2 ( un réel ) + 3
je n'arrive pas à trouver - 4 x + 3

[Ben314]

-4x + 3 > 0
-4 x > 3
x > 3 / 4

NON : la dernière ligne est fausse.
Si tu multiplie/divise les deux membres d'une égalité par un réel strictement négatif, l'inégalité change de sens.
Et perso. (ça doit dater de l'époque où j'étais au collège), j'ai plus ou moins tendance à préférer écrire que :
-4x+3>0
3>4x (en ajoutant 4x des deux cotés)
3/4>x (en divisant par 4 qui est positif des deux cotés)
Ce qui me permet de garder l'inégalité "toujours dans le même sens" (a noter que, bien évidement, ça ne change absolument rien au résultat)

Bref, si x<3/4 alors -4x+3>0.
Montre maintenant que, si x et x' sont tout les deux des réels <3/4 alors le réel -2(x+x')+2 est >0 et tu aura une partie de la réponse à la question qui t'intéresse.

[Ben314]

donc si je remplace x' et x par des réels
je n'ai plus de x

Ben oui, mais ça, c'est ce que l'on appelle une Lapalissade :
Si tu fait un gâteau aux cerises et que tu remplace les cerises par des prunes, ben y'a plus de cerises...
Quand on te demande de calculer la surface d'un rectangle de 4x2 que tu applique la formule ben ça te donne et maintenant, y'a plus ni de , ni de .

Ben là, c'est évidement pareil, si tu remplace x par un réel, ben y'a évidement plus de x....

Et ce que te dit le "résultat" du bidule, à savoir x<3/4, ben c'est que dans l'expression -4x+3, si tu remplace x pzr un "vrai réel", alors
- Soit ce "vrai réel" est plus petit que 3/4 et le résultat du calcul (de -4x+3) sera positif (et ne dépendra évidement pas de x vu que tu l'a remplacé).
- Soit il est plus grand que 3/4 et le résultat du calcul sera négatif.
Bref, ça te permet de savoir à l'avance si ça va donner du positif ou du négatif sans avoir besoin de faire le calcul. Et c'est justement ça qu'on appelle "résoudre" une inéquation (ou un e équation d'ailleurs).

[yann06]

Bonsoir


3 / 4 = 0,75
je prends une valeur inférieure , je vais prendre 3 / 5 qui vaut 0,6

si x et x' = 3/5 alors - 4 * 3/5 + 3 = 5,4 donc > 0

il faut montrer que si x et x' sont tous les deux < 3 / 4 alors - 2 (x' + x) + 2 est > 0