Comparaison de grands nombre avec fonction ln

[paquito]

Je n'avais même pas vu qu'il fallait obligatoirement passer par ; comment on fait avec et ? pour moi ce type d'exercice est l'occasion d'utiliser le logarithme décimal;

on a
de même , on sait lequel est le plus grand et en prime on a un bon ordre de grandeur; c'est aussi valable pour par exemple ou pour si on connait la formule de Stirling.

[nodjim]

Oui Paquito, mais même question sans la calculette ?

[mathelot]

comment on fait avec et ?

bjr,
on utilise "une approximation polynomiale de degré n" de






A>B équivaut à


>> = est très grand devant

[Robic]

Concernant la notation a>b ? c'est bien sûr au brouillon, dans la phase de réflexion. D'ailleurs quand on rédige l'exercice, on va le remettre dans le bon ordre, comme l'avait dit Zygomatique :

ensuite il faut le rédiger convenablement ...

Donc au brouillon, on réfléchit : est-ce que 2015^2014 < 2014^2015 ? donc 2014.ln(2015) < 2015.ln(2014) ? et ainsi de suite. Mais dans la rédaction on écrit les choses dans l'autre sens : sachant que f est décroissante on a etc. etc. etc. et donc 2014.ln(2015) < 2015.ln(2014), ce qui donne finalement 2015^2014 < 2014^2015. (J'ai mis les inégalités au hasard, une chance sur deux...)

Mathelot : j'aime beaucoup ta méthode (bien sûr impossible au lycée), mais qu'est-ce qui prouve que l'approximation préserve l'inégalité ? Ça se trouve l'inégalité est vraie avec les valeurs approchées mais fausse avec la valeur exacte... Bref, il y aurait une justification à faire. Mais je chipote, je trouve ça excellent comme méthode !

[paquito]

mathelot est en forme!

Peut on comparer sans calculatrice et ?

On est à des années lumières des objectifs du programme, mais ça fait du bien d'en sortir!

PS: ça me semble quand même difficile!

[mathelot]

on note
si b est de l'ordre de a

[nodjim]

Je ne sais pas si tu as raison, car tu n'as pas accompagné les équivalences par leur tolérance d'erreur:
2^10=1,02*10^3
Pi²=10/1,02
13/Pi=4*1,03
sauf erreur.

[paquito]

Salut mathelot,

tout d'abord, tes équivalents sont exagérés! On a, donc
n'a aucune importance, mais tu arrive au produit d'un terme majoré et d'un terme minoré, donc aucune chance de pouvoir conclure. De toute façon, on ne peut pas parler d'équivalent avec des nombres finis et si on minore, on majore

En fait, j'ai évidemment choisi des termes "proches"; le quotient de et de vaut 1,0255....

Par contre, quant je dis sans calculatrice, ça veut dire comme aux temps ou ces engins qui sont pédagogiquement néfastes n'existaient pas! Personnellement, quand j'ai eu mon bac C (1974) on m'a offert une des calculatrices qui venait de sortir; ce n'était pas brillant, ça marchait avec des diodes rechargeables toutes les heures, ça devait avoir au plus 10 fonctions dont ln avec 7 décimales mais plusieurs secondes d'attente; bref j'ai revendu mes bouquins, ma règle à calcul et ma table logarithmo-trigonométrique.


Ce que j'aimerais savoir, c'est si en utilisant une vielle table(4 décimales), on arrive à trouver que
?

[nodjim]

Etant donné le rapport de 1,0255 entre les 2 termes, une table de log à 4 décimales donne le résultat sans problème.
Je ne savais qu'il y avait ici un bac C 74. Je pensais qu'avec mon bac C 76 j'étais un doyen. Comme quoi...

[zygomatique]

Etant donné le rapport de 1,0255 entre les 2 termes, une table de log à 4 décimales donne le résultat sans problème.
Je ne savais qu'il y avait ici un bac C 74. Je pensais qu'avec mon bac C 76 j'étais un doyen. Comme quoi...

salut les vieux :ptdr: :ptdr: (de la part d'un jeunot :: bac C 84)

:zen:

pour comparer on peut comparer

ha mais non ça change l'ordre ....

[paquito]

Tout ceci prouve qu'on pourrait faire des maths sans calculatrice,comme pour le bac Marocain où le niveau moyen des scientifiques est infiniment supérieur aux nôtres . Quand je voie une de mes élèves utiliser la calculatrice pour effectuer , je me dis qu'il y a un problème; quand je vois une élève de avoir rentré toutes les formules de dérivées dont et être complètement bloquée pour , je trouve que le problème est très grave;enfin quand je constate que la calculatrice est autorisée dès le et que n'est pas connu, ce n'est plus un problème, mais un massacre intellectuel.

Pour moi, la calculatrice devrait être interdite au bac et sinon être utilisée pour illustrer un calcul difficilement réalisable à la main. Sinon la calculatrice risque de remplacer le cerveau de nos élèves, ce qui ne peut conduire qu'à un niveau mathématiques en dessous du niveau de misère intellectuelle, ce qui est le cas actuellement.

PS: je pense que mathelot est notre doyen. :zen:

[zygomatique]

avec des outils simples de terminale ...


u = 2016ln(2015) = 2015ln(2015) + ln(2015)

v= 2015ln(2015 + 2) = 2015ln(2015) + 2015ln(1 + 2/2015) ~ 2017^{2015} < 2015^{2016}[/TEX]


ce me semble-t-il ....

[zygomatique]

:zen:

[Robic]

Je reviens sur la méthode de Mathelot avec des "équivalents". À la fin, on voit que l'une des deux valeurs est 10^5 fois plus grande que l'autre (puisqu'il y a une puissance 162 et une puissance 167).

Question : est-ce que remplacer Pi² par 10, par exemple, ne donne pas 10^5 d'écart (en proportion) lorsqu'on les met à une puissance importante ? Si oui, ça ne marchera pas.

Or justement :
- Mathelot utilise ,
- tandis que l'on a .

La minuscule erreur d'approximation de départ s'est quand même bien amplifiée avec l'utilisation de telles puissances !

Là, l'erreur d'approximation (pour une des valeurs, je n'ai pas regardé l'autre) est d'ordre 10^4, or la conclusion se joue à 10^5 près "seulement". Donc pour moi ça ne prouve rien.

[mathelot]

Là, l'erreur d'approximation (pour une des valeurs, je n'ai pas regardé l'autre) est d'ordre 10^4, or la conclusion se joue à 10^5 près "seulement". Donc pour moi ça ne prouve rien.

je suis d'accord. j'ai écrit ça juste pour le fun. Mais les équivalents sans passage à la limite, ça n'existe pas. Si l'on veut remplacer tout ça par une démo (vraiment) mathématique, il faut utiliser des encadrements pour A et B,ie, trouver et tels que
et soient des intervalles disjoints.
Et l'on va avoir besoin d'une calculatrice. Et si l'on a une calculatrice, on dispose des logarithmes décimaux...
la deuxième critique qui a été faite est qu'on multiplie des majorants avec des minorants sans considération pour la relation d'ordre.
Enfin, dernière critique, si l'on qualifiait mes considérations d'"heuristiques", on sait qu'il y a de nombreuses démonstrations heuristiques qui ne prouvent rien, elles sont qualifiées d'heuristiques, qui doit vouloir dire méta-mathématiques, mais également (nulles et) non avenues.

[paquito]

:zen:

On n'a pas du tout tu as du être étourdi! Le résultat est évidemment faux!

[paquito]

Normalement, la calculatrice est autorisée, en fait elle est devenue indispensable et nos élèves ont un niveau en calcul mental inexistant;
il y a quelque temps, j'ai correspondu avec un jeune marocain qui allait passer son bac maths; j'ai été sidéré par ses connaissances et il m'a aussi expliqué que ni un formulaire, ni une calculatrice n'étaient autorisés au bac et que de plus son épreuve se terminait par un exercice d'arithmétique sur 3 points qui était redoutée et que par exemple pour s'échauffer ils avaient comme première question:

démontrer que l'entier n=971 est premier.
Ils connaissent tous le crible d'Eratosthène;
Ils connaissent les nombres premiers compris entre 2 et 100.
Ils sont tous bons en calcul mental, et savent faire une division à la main;
mais certains n'arrivent pas au bout, d'une par parce qu'ils éliminent un diviseur premier en effectuant une division ou ont du mal à évaluer, mais les meilleurs arrivent vite au résultat et ça donne un exo intéressant;J'écris en rouge ce qui figure sur la copie.

Remarquons d'abord que 33^2=(3*11^2)=9*121=1089; il faudra donc arrêter la démarche à p=31;
ensuite les critères de divisibilité usuels permettent d'éliminer 2, 3,5 et 11 directement; testons 7 .
7x100=700; 7x40=280 donc7x140=980

On a n=7x140-9 et 7 ne divise pas 9 donc 7 est éliminé; testons 13.
13x100=1300; 13x30=390 donc 13x70=910

On a n=13x70+61 et 13 ne divise pas 61 qui est premier donc 13 est éliminé; testons 17
17x100/2=850, 17x10/2=85 donc 17x55=935

On a n=17x55+36= et 17 ne divise pas 36=2²x9², donc 17 est éliminé;testons 19.
19x100/2=950

On a n=19x50+21 et 19 ne divise pas 21=3x7, donc 19 est éliminé; testons 23.
23x100/2=1150; 23x10=230 donc 23x40=920

On a n=23x40+51 et 23 ne divise pas 51=3x17, donc 23 est éliminé; testons 29.

(30-1)x30 =870; (30-1)3=87, donc 29x 33=957
On a n=29x33+14, et 29 ne divise pas 14, donc 29 est éliminé;testons 31.

(30+1)x30=930

On a n=31x30+41 et 31 ne divise pas 41 qui est premier, donc 31 est éliminé.
Conlusion: n=971 n'admettant aucun diviseur premier est premier.

Et voila, pendant que le (bon) élève marocain optimise ses calculs pour faire cet exercice dans un temps record, l'élève français va utiliser le programme "PREMIER" que lui a donné son professeur (on fait tous ça, il faut bien sauver les meubles) et qui décompose en facteur premier ou indique que le nombre est premier; évidemment ça va très vite; deux conceptions de faire des maths! Il y en a une que je préfère! C'est peu être pour ça que la solution finale d'une équation reste ........

[nodjim]

Mentalement:
Pour 2,3,5,11, c'est immédiat.
Pour 7: 971-21=950--->95--->19
971 n'est divisible ni par 19, ni par 7.
Pour 13: 971+39=1010--->101 NOK
Pour 17: 971-51=920---->92--->23
17 et 23 ne divisent pas 971
Pour 29: je cherche un premier >29 qui multiplié par 29 donnera un 1 comme chiffre d'unité: 39 ne convient car non premier, et c'est déja trop grand.
Pas la peine d'aller plus loin, 971 est premier.

Sinon, dans les années 80, les annales des pays de la francophonie non métropole montraient un niveau nettement plus faible que ceux de la métropole. Les temps ont bien changé....

[nodjim]

Et bien sûr pour 31: 31² est trop petit, et 31*41 trop grand.

[zygomatique]

On n'a pas du tout tu as du être étourdi! Le résultat est évidemment faux!

damned ..... et en plus j'arrêtais pas de penser !!!

:mur:



et je rejoins naturellement (et malheureusement) Paquito sur son constat sur l'école ...

et j'ai aussi fait le programme "premier" ... parce que le tout calculatrice imposé par nos inspecteurs conduit à des capacités quasi inexistante de calcul mental ....

certains élèves de TS "vérifient" 6/3 à la calculatrice pur être sur ....