Comparaison de grands nombre avec fonction ln

[Splum]

Bonjour,
je ne parviens pas a répondre à une question d'un dm sur le logarithme népérien
la fonction est f(x)=ln(x)/x
et grâce à son tableau de variation je dois déduire une comparaison de a=2014^2015 et b=2015^2014.
J'ai vu que la fonction est décroissante car ln(x) < x donc j'imagine qu'il faut faire un truc du genre
f(a)>f(b) (ou l'inverse) donc aMerci d'avance

[Robic]

Bonjour ! Je pense que tu dois appliquer la propriété x < y si et seulement si ln(x) < ln(y). Donc passe l'inéquation a

[zygomatique]

salut

il suffit de calculer f(b) - f(a) ...

[Robic]

il suffit de calculer f(b) - f(a) ...

Ça me paraît un peu compliqué : :lol3:

[zygomatique]

a et b sont dans le même ordre que ln(a) et ln(b) car ln est croissante ...

or

:zen:

[paquito]

ln étant croissante, il suffit de comparer et soit:
et donc c'est le plus grand.

[Robic]

(zut, ça ne marche pas... - en fait j'avais écrit rapidement un programme qui calcule 2014^2015 et vice-versa avec toutes ses décimales, mais il y a un bug et je n'ai pas le temps de chercher, dommage c'était amusant...)

[Splum]

Merci pour les réponses, je vais me débrouiller avec :)

[chombier]

[quote="Splum"]Bonjour,
je ne parviens pas a répondre à une question d'un dm sur le logarithme népérien
la fonction est f(x)=ln(x)/x
et grâce à son tableau de variation je dois déduire une comparaison de a=2014^2015 et b=2015^2014.
J'ai vu que la fonction est décroissante car ln(x) f(b) (ou l'inverse) donc a1, donc :









par croissance de ln

[zygomatique]

j'ai déjà tout dit ...

[Robic]

... et il n'y a pas de quoi s'en vanter ! :lol3: (c'est dommage de donner la solution).

[chombier]

j'ai déjà tout dit ...

Oui j'ai vu après, mais c'est intéressant aussi d'avoir deux rédactions différentes

[mathelot]

donc

[zygomatique]

... et il n'y a pas de quoi s'en vanter ! :lol3: (c'est dommage de donner la solution).

je ne m'en vante absolument pas ....


quant au fait de donner la solution je pense que ce n'est pas trivial pour un élève de terminale ...


je suis simplement parti de l'idée de ton premier post (dont le cheminement intellectuel me semble le plus naturel et que j'avais oublié) ::

passer de a et b à ln(a) et ln(b) semble naturel quand on voit ces nombres ... mais la suite ?
penser à faire la différence ....
transformer cette expression ...
et arriver à f .... pour voir que ça revient effectivement à comparer simplement f(2014) et f(2015) ...
pour conclure ...

ce cheminement me semble réellement constructiviste .... et permet de montrer en quoi l'étude de cette fonction va me permettre de répondre à la question ...


certes l'étude de f permet d'écrire immédiatement f(2015) < f(2014)
ok .... mais la suite ....
coup de bol ça répond effectivement à la question ....

:lol3:

[nodjim]

En réalité, il aurait été plus logique de développer depuis la comparaison des valeurs:
2014^2015>?2015^2014
ln(2014^2015)>? ln(2015^2014)
2015 ln2014>? 2014 ln2015
ln2014/2014>? ln2015/2015
Comme ln x/x décroissante, la réponse est oui car 2014<2015.

[zygomatique]

c'est exactement cela ...

c'est pourquoi on passe d'abord par le ln puis ensuite par f ....

ensuite il faut le rédiger convenablement ...

c'est à dire calculer ln(b) - ln(a) ... car on ne peut pas laisser des .... >? ...." dans une rédaction convenable ....

et qu'un des principes général et premier pour comparer deux nombres u et v est de déterminer le signe de leur différence ....

le truc ici (travail supplémentaire) c'est d'abord de faire une transformation qui conserve l'ordre (ou du moins et de savoir quel sera l'ordre ensuite) ...

[chombier]

je ne m'en vante absolument pas ....


quant au fait de donner la solution je pense que ce n'est pas trivial pour un élève de terminale ...


je suis simplement parti de l'idée de ton premier post (dont le cheminement intellectuel me semble le plus naturel et que j'avais oublié) ::

passer de a et b à ln(a) et ln(b) semble naturel quand on voit ces nombres ... mais la suite ?
penser à faire la différence ....
transformer cette expression ...
et arriver à f .... pour voir que ça revient effectivement à comparer simplement f(2014) et f(2015) ...
pour conclure ...

ce cheminement me semble réellement constructiviste .... et permet de montrer en quoi l'étude de cette fonction va me permettre de répondre à la question ...


certes l'étude de f permet d'écrire immédiatement f(2015) < f(2014)
ok .... mais la suite ....
coup de bol ça répond effectivement à la question ....

:lol3:

C'est étudié pour ! "En déduire que..." :lol3:

Aller à la montagne ou faire venir la montagne à soi, c'est un choix de vie :we: (et je ne dis pas que j'ai fait le bon ^^)

[Robic]

[quote="nodjim"]En réalité, il aurait été plus logique de développer depuis la comparaison des valeurs:
2014^2015>?2015^2014
ln(2014^2015)>? ln(2015^2014)
2015 ln2014>? 2014 ln2015
ln2014/2014>? ln2015/2015
Comme ln x/x décroissante, la réponse est oui car 2014 b, et alors ? Est-ce que ça m'aide... Ah, mais on peut sortir les exposants... OK, donc 2014.ln(2015) > 2015.ln(2014) ? J'en sais rien ! Et si je bricolais un peu ? Il paraît que ça vient de la fonction f, donc logiquement je dois la faire apparaître... »

Ma théorie, c'est que :
- le "surdoué" en maths voit directement la réponse ;
- le "bon en maths" fait comme je viens de décrire, donc finit par trouver la réponse ;
- le "pas bon en maths" ne fait pas ça - mais c'est la seule différence, il n'est pas plus bête.

Bref : être "bon en maths" ne signifie pas avoir la bosse des maths ou être plus intelligent ou je ne sais quoi, mais juste de penser à "essayer des trucs". Bien sûr il faut le faire intelligemment : si on a étudié une fonction avant, c'est qu'elle peut servir ; s'ils nous demandent d'« en déduire », c'est qu'elle va servir. Cet exercice peut illustrer ça...

[mathelot]

mais commencer par écrire l'inégalité avec un point d'interrogation, c'est une méthode quand même courante.

personnellement, je n'emploie pas cette notation >?
si les valeurs de vérité posent un problème, autant balancer
la table de vérité de l'équivalence
et rédiger "les inéquations suivantes sont équivalentes..."

en ce qui concerne les fonctions croissantes , ça fait un petit bout de temps
que je les appelle des "morphismes d'ordre" avec l'idée qu'elles peuvent servir
à classer les nombres réels (cf programme de Seconde, année 2006)

[nodjim]

Ce >? n'est pas homologué, donc pas à conseiller au lycée. Toutefois, il semble assez bien perçu intuitivement, puisqu'en l'utilisant sans mode d'emploi, il a été compris. Le <===> est en effet la même chose, l'interrogation de départ en moins.