Comparaison de deux fonctions

par **stef78** » 19 Mai 2006, 19:01

Bonjour j'aimerai si vous pouviez me dire si mon exo est bon et m'aider a resoudre la derniere question :$

f et g sont les fonctions définie sur R par f(x)= 1/3(x-1)^3 et g(x)= x - 7

1)a) Sur l'écran d'une calculatrice graphique tracer les courbes Cf et Cg representant respectivement f et g.
b) Conjecturer une comparaison de f(x) et g(x)

ma reponse : Cf semble au dessus de Cg pour x entre -2 et +oo et, sinon Cf est en dessous de Cg donc on peut conjecturer f(x)> g(x) pour x supérieur a -2

on se propose de démontrer la conjecteur emise.
pour cela on considère la fonction u definie sur R par :
u(x)= f(x)- g(x)

a) Dresser le tableau de variation de u. calculer u(-2)
pour cela je calcul u'(x)= x(x-2)
je trouve alors croissante sur ]-oo;0] et sur [2;+oo[ et u decroissante sur [0;2]
et (-2)=(1/3)(-3)^3 )-(-2-7)=-9+9=0

par la suite il me demande d'étudier le signe de u(x) .et la je ne sais pas comment faire

par **dom85** » 19 Mai 2006, 19:40

bonsoir,

il te suffit de regarder ton tableau de variations:
tu as calculé u(-2)=0
u(0)=20/3 et u(2)=16/3

u(x) est <0 sur ]-inf;-2[ et >0 sur ]-2;+inf[

par **Daragon geoffrey** » 19 Mai 2006, 19:40

slt aprè développement on a u(x)=x^3 /3 - x^2 + 20/3 implique u'= x^2 - 2x équiv à x(x-2) donc 2 racines évidentes 0 et 2 donc u décroissante sur [0;2] et croissante ailleurs il ne te reste plus qu'à calculer les limites aux bornes et les valeurs des extrema pour en déduire les solutions réelles de l'équation u(x)=0, et conséquemment le signe de u et donc la position relative des 2 courbes considérées ! @ +

par **Daragon geoffrey** » 19 Mai 2006, 19:41

a dsl dom85 j'né pas vu que tu avé répondu, j'étais en pleine rédaction @ +

par **stef78** » 19 Mai 2006, 20:51

donc le signe de u(x) correspond a u'(x) ici ?

par **Daragon geoffrey** » 19 Mai 2006, 23:27

non en fait l'expression algébrique de u(x) ne te permet pas de trouver son signe en fct de x donc tu procèdes autrement, ds ce cas en dérivant (méthode analytique), tu obtients ainsi les variations de u(x) puis en calculant ses limites aux bornes et les valeurs de ses extrema tu conclus quant à l'existence d'une ou de plusieurs racines réelles (cad les réels x pour lesquelles u(x)=0), et en fct des valeurs de x, tu déduis le signe de u(x) ! mais tu peux ossi procéder graghiquement en traçant la courbe représentatrice de u ! @ +

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