Timothé Lefebvre a écrit:Exercice 1 : Soient les suites de réels strictement positifs de la forme
telles que
et
,
.
1) Mq dans chaque cas il existe un
tq :
2) Trouver une suite de la sorte, vérifiant
:
Correction :
1) Cette suite est convergente (décroissante minorée). Disjonction de cas suivant sa limite l en - infini.
a) Si xn tend vers un l strictement supérieur à 0 alors
tend vers un l supérieur à 0, donc :
tend vers l'infini.
b) Si xn tend vers 0, on considère
, il existe un n dans N tq
.
Pour tout entier i on a
d'où :
Avec au besoin epsilon à 1/4000.
2) Il existe une unique suite répondant à l'énoncé, c'est celle de la réponse ci-dessus.
On pose
,
donc
d'où :
Timothé Lefebvre a écrit:Exercice 2 : Soit
1) Mq si l'équation
admet une solution entière alors elle en admet au moins trois.
2) Mq pour n=2891 l'équation de la question précédente n'admet pas de solution entière.
Correction :
1) Soit le coupe solution (x,y), alors on montre facilement que (-y, x-y), (y-x,-x) le sont aussi. Il reste à vérifier que ces trois couples sont distincts deux à deux.
2) Raisonnement par l'absurde : il existe un (x,y) couple d'entiers relatifs tq l'équation soit respectée, donc
et
. La disjonction de cas se fait ici :
a)
alors
: absurde.
b)
et
alors
: absurde.
c)
et
alors on est encore dans le même cas, d'où l'absurde.
Il n'existe donc pas de solution entière pour n=2891