Comment s'occuper pour de longues soirées d'hiver ?

[Timothé Lefebvre]

Salut salut

Je vous propose deux petits exercices qui auront peut-être le mérite de donner du fil à retordre à quelques uns (ou pas, d'ailleurs). Pour ceux qui connaissent mes habitudes vous savez d'où sortent ces énoncés, pour les autres je vous en laisse la surprise !

Exercice 1 :

Soient les suites de réels strictement positifs de la forme telles que et , .

1) Mq dans chaque cas il existe un tq :



2) Trouver une suite de la sorte, vérifiant :




Exercice 2 :

Soit

1) Mq si l'équation admet une solution entière alors elle en admet au moins trois.

2) Mq pour n=2891 l'équation de la question précédente n'admet pas de solution entière.


Bon, je vous l'accorde, ce n'est pas super difficile mais c'est tout de même sympa à faire, en guise d'entraînement

Bonne journée à tous,

Tim

[benekire2]

Je ne te demanderais même pas d'où tu les sort !!

[Timothé Lefebvre]

Je pense que tu le sais déjà ;)

[benekire2]

Oui, mon intuition mathématique de ce coté là me le confirme ^^

[Timothé Lefebvre]

Une idée, alors ?

[benekire2]

Ben, là je vais aller manger en fait, mais j'ai pas trop regarder, juste survolé, pour l'exo 2, ça a l'air de passé...

[Timothé Lefebvre]

Exactement, le tout est de bien rédiger !

[benekire2]

Mais bon, j'ai énormément de français a faire ces temps ci ( exposés...) donc je sais pas si je vais le faire ... Mais une chose est sur, c'est dans mes favoris, et imprimer ce soir :)

[Timothé Lefebvre]

Bon allez, pour motiver les troupes je donne quelques indices.

Pour le premier exo il s'agit bien entendu d'étudier la convergence de la somme. Pour cela on aura besoin d'une disjonction de cas (pourquoi ?). La seconde question nécessitera une petite récurrence à mon avis.

Pour l'exo deux, je pense que la première question ne nécessite pas d'indice, la deuxième se fera bien entendu en raisonnant par l'absurde et en distinguant trois cas.

[benekire2]

Le premier est bizarre comme exo^^ Pour le deuxième RPA et disjonction de cas pour ma part, enfin, j'y est pas trop pensé mais ca doit être cela.

[Timothé Lefebvre]

Le premier exo ? C'est un classico ;)

[benekire2]

Le premier exo ? C'est un classico

Peut être , mais ça change rien ; des fois il y a des exos vraiment laids

[Timothé Lefebvre]

Exercice 1 :

Soient les suites de réels strictement positifs de la forme telles que et , .

1) Mq dans chaque cas il existe un tq :



2) Trouver une suite de la sorte, vérifiant :

Correction :

1) Cette suite est convergente (décroissante minorée). Disjonction de cas suivant sa limite l en - infini.

a) Si xn tend vers un l strictement supérieur à 0 alors tend vers un l supérieur à 0, donc :

tend vers l'infini.

b) Si xn tend vers 0, on considère , il existe un n dans N tq .
Pour tout entier i on a d'où :



Avec au besoin epsilon à 1/4000.

2) Il existe une unique suite répondant à l'énoncé, c'est celle de la réponse ci-dessus.
On pose , donc d'où :

Exercice 2 :

Soit

1) Mq si l'équation admet une solution entière alors elle en admet au moins trois.

2) Mq pour n=2891 l'équation de la question précédente n'admet pas de solution entière.

Correction :

1) Soit le coupe solution (x,y), alors on montre facilement que (-y, x-y), (y-x,-x) le sont aussi. Il reste à vérifier que ces trois couples sont distincts deux à deux.

2) Raisonnement par l'absurde : il existe un (x,y) couple d'entiers relatifs tq l'équation soit respectée, donc et . La disjonction de cas se fait ici :

a) alors : absurde.

b) et alors : absurde.

c) et alors on est encore dans le même cas, d'où l'absurde.

Il n'existe donc pas de solution entière pour n=2891

[benekire2]

Merci pour l'exercice 1 !!!

[Timothé Lefebvre]

De rien ;) Sympa pas vrai !

[benekire2]

Oui pas mal :)

[Nightmare]

a) Si xn tend vers un l strictement supérieur à 0 alors tend vers un l supérieur à 0, donc :

tend vers l'infini.

Je crois que ça mérite des explications, ce n'est pas immédiat (en tout cas pas en 1ère !)