Comment s'occuper pour de longues soirées d'hiver ?

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Timothé Lefebvre
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Comment s'occuper pour de longues soirées d'hiver ?

par Timothé Lefebvre » 13 Nov 2009, 09:26

Salut salut :)

Je vous propose deux petits exercices qui auront peut-être le mérite de donner du fil à retordre à quelques uns (ou pas, d'ailleurs). Pour ceux qui connaissent mes habitudes vous savez d'où sortent ces énoncés, pour les autres je vous en laisse la surprise !

Exercice 1 :

Soient les suites de réels strictement positifs de la forme Image telles que Image et Image , Image.

1) Mq dans chaque cas il existe un Image tq :

Image

2) Trouver une suite de la sorte, vérifiant Image :

Image


Exercice 2 :

Soit Image

1) Mq si l'équation Image admet une solution entière alors elle en admet au moins trois.

2) Mq pour n=2891 l'équation de la question précédente n'admet pas de solution entière.


Bon, je vous l'accorde, ce n'est pas super difficile mais c'est tout de même sympa à faire, en guise d'entraînement ;)

Bonne journée à tous,

Tim



benekire2
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par benekire2 » 16 Nov 2009, 11:27

Je ne te demanderais même pas d'où tu les sort !!

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 16 Nov 2009, 11:28

Je pense que tu le sais déjà ;)

benekire2
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par benekire2 » 16 Nov 2009, 12:39

Oui, mon intuition mathématique de ce coté là me le confirme ^^

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 16 Nov 2009, 12:41

Une idée, alors ?

benekire2
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par benekire2 » 16 Nov 2009, 12:43

Ben, là je vais aller manger en fait, mais j'ai pas trop regarder, juste survolé, pour l'exo 2, ça a l'air de passé...

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 16 Nov 2009, 12:46

Exactement, le tout est de bien rédiger !

benekire2
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par benekire2 » 16 Nov 2009, 12:48

Mais bon, j'ai énormément de français a faire ces temps ci ( exposés...) donc je sais pas si je vais le faire ... Mais une chose est sur, c'est dans mes favoris, et imprimer ce soir :)

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 16 Nov 2009, 19:34

Bon allez, pour motiver les troupes je donne quelques indices.

Pour le premier exo il s'agit bien entendu d'étudier la convergence de la somme. Pour cela on aura besoin d'une disjonction de cas (pourquoi ?). La seconde question nécessitera une petite récurrence à mon avis.

Pour l'exo deux, je pense que la première question ne nécessite pas d'indice, la deuxième se fera bien entendu en raisonnant par l'absurde et en distinguant trois cas.

benekire2
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par benekire2 » 16 Nov 2009, 20:39

Le premier est bizarre comme exo^^ Pour le deuxième RPA et disjonction de cas pour ma part, enfin, j'y est pas trop pensé mais ca doit être cela.

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 16 Nov 2009, 20:41

Le premier exo ? C'est un classico ;)

benekire2
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par benekire2 » 16 Nov 2009, 20:43

Timothé Lefebvre a écrit:Le premier exo ? C'est un classico ;)


Peut être , mais ça change rien :lol: ; des fois il y a des exos vraiment laids :lol:

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 19 Nov 2009, 14:13

Timothé Lefebvre a écrit:Exercice 1 :

Soient les suites de réels strictement positifs de la forme Image telles que Image et Image , Image.

1) Mq dans chaque cas il existe un Image tq :

Image

2) Trouver une suite de la sorte, vérifiant Image :

Image

Correction :

1) Cette suite est convergente (décroissante minorée). Disjonction de cas suivant sa limite l en - infini.

a) Si xn tend vers un l strictement supérieur à 0 alors Image tend vers un l supérieur à 0, donc :

Image tend vers l'infini.

b) Si xn tend vers 0, on considère Image, il existe un n dans N tq Image.
Pour tout entier i on a Image d'où :

Image

Avec au besoin epsilon à 1/4000.

2) Il existe une unique suite répondant à l'énoncé, c'est celle de la réponse ci-dessus.
On pose Image, Image donc Image d'où :

Image

Timothé Lefebvre a écrit:Exercice 2 :

Soit Image

1) Mq si l'équation Image admet une solution entière alors elle en admet au moins trois.

2) Mq pour n=2891 l'équation de la question précédente n'admet pas de solution entière.

Correction :

1) Soit le coupe solution (x,y), alors on montre facilement que (-y, x-y), (y-x,-x) le sont aussi. Il reste à vérifier que ces trois couples sont distincts deux à deux.

2) Raisonnement par l'absurde : il existe un (x,y) couple d'entiers relatifs tq l'équation soit respectée, donc Imageet Image. La disjonction de cas se fait ici :

a) Image alors Image : absurde.

b) Image et Image alors Image : absurde.

c) Image et Image alors on est encore dans le même cas, d'où l'absurde.

Il n'existe donc pas de solution entière pour n=2891

benekire2
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par benekire2 » 19 Nov 2009, 18:12

Merci pour l'exercice 1 !!!

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 19 Nov 2009, 18:14

De rien ;) Sympa pas vrai !

benekire2
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par benekire2 » 19 Nov 2009, 18:22

Oui pas mal :)

Nightmare
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par Nightmare » 19 Nov 2009, 20:34

Timothé Lefebvre a écrit:a) Si xn tend vers un l strictement supérieur à 0 alors Image tend vers un l supérieur à 0, donc :

Image tend vers l'infini.


Je crois que ça mérite des explications, ce n'est pas immédiat (en tout cas pas en 1ère !)

 

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