Comment noter une fonction?

[alexis6]

Bonjour,

J'ai du mal à comprendre certaines notations de fonctions, notamment le rôle des parenthèses.
Par exemple ( indépendants ):

1) (( h o g ) o f )(a) = ( h o g )(f(a)) = h(g(f(a))) = h((g o f )(a))
2) (h o g)(f)(x,y) = h(g(f))(x,y) = (g(f)(x))(y)
3) On définit une fonction f: F(A,F(B,C)) --> F(A×B,C) , g --> (a,b) --> (g(a))(b)

Je ne comprends pas ce qui justifie que l'on puisse changer les parenthèses entre les différentes expressions...

Et aussi, des fois je ne comprends pas quel est l'argument de la fonction...

[L.A.]

Bonjour

1) si tu prends deux fonctions f,g, alors tu peux les composer pour former une troisième fonction notée (fog) qui agit en appliquant d'abord g puis f.

Ex : si g(x) = x^2 et f(y) = y-1 alors (fog)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = (x^2)-1

Ici pour calculer ((hog)of)(x), tu appliques d'abord f à x, puis (hog) au résultat f(x) et tu obtiens donc (hog)(f(x)). Tu peux continuer en appliquant d'abord g à f(x) puis h au résultat g(f(x)) ce qui donne bien h(g(f(x))).

Et comme g(f(x)) = z = (gof)(x), tu as également h(g(f(x))) = h(z) = h((gof)(x)). Etc...

2) A mon avis les fonctions f,g,h sont d'une forme bien précise ici, ça ne marche pas pour toutes les fonctions, loin de là.

3) Une fonction f qui va de F(A,F(B,C)) dans F(AxB,C) est une fonction qui agit sur un élément g du premier ensemble (g est donc lui-même une fonction de A dans F(B,C)) et lui associe un élément f(g) du second ensemble (ici f(g) est donc une fonction de AxB dans C).

Tu peux donc appliquer l'élément f(g) à un élément (a,b) de AxB ce qui doit te donner un élément de C. Tu peux par ailleurs appliquer g à a ce qui te donne un élément g(a) de F(B,C), autrement dit g(a) est une fonction de B vers C. Tu peux donc appliquer ce g(a) à b pour former un élément (g(a))(b) de C.

Et au final ce g(a) appliqué à b est égal à f(g) appliqué à (a,b) soit

(g(a))(b) = (f(g))(a,b)

:hein:

[mathelot]

l'associativité des fonctions illustre l'aspect "boite noire" des fonctions.
ce qui compte, c'est d'associer à x une image,
peut importe le mécanisme d'association (hog)of ou ho(gof)

[alexis6]

Merci pour vos réponses très claires! Je crois avoir compris maintenant!

Le problème, c'est que dans le secondaire, ne sont présentées que des fonctions du type f(x)=... et du coup un élève de terminale voit les deux objets f et (x) comme unis, alors qu'en fait pas du tout... Donc ensuite par exemple lorsque l'on voit (g o f)(x,y), on ne s'y retrouve plus, déjà parce que la variable est un couple (x,y) et aussi parce que l'on a pas une fonction du type f(x)...

C'est donc bien de venir se faire expliquer ce genre de choses pendant la terminale, pour ne pas être " pris au dépourvu " après, et être familier avec ce genre de notations.

[L.A.]

Effectivement, c'est le problème de nombreux élèves qui ne comprennent pas bien la nuance entre f et f(x) et qui parlent de "la fonction f(x)", alors que la fonction est bien f tandis que f(x) est seulement l'image de x par la fonction f. Autrement dit "f" porte simultanément les informations de toutes les images tandis que "f(x)" n'en porte qu'une seule.

[chombier]

Bonjour,

J'ai du mal à comprendre certaines notations de fonctions, notamment le rôle des parenthèses.
Par exemple ( indépendants ):

1) (( h o g ) o f )(a) = ( h o g )(f(a)) = h(g(f(a))) = h((g o f )(a))
2) (h o g)(f)(x,y) = h(g(f))(x,y) = (g(f)(x))(y)
3) On définit une fonction f: F(A,F(B,C)) --> F(A×B,C) , g --> (a,b) --> (g(a))(b)

Je ne comprends pas ce qui justifie que l'on puisse changer les parenthèses entre les différentes expressions...

Et aussi, des fois je ne comprends pas quel est l'argument de la fonction...

1) :

f est une application de A dans B
g est une application de B dans C

Alors (g o f) est une application de A dans C définie par :
pour tout x élément de A, (g o f)(x) = g(f(x))

g o f : A -> C
x |-> g(f(x))

h est une application de C dans D

Propriété : (h o g) o f = h o (g o f)
Preuve : Pour tout x élément de A,
((h o g) o f) (x) = (h o g)(f(x)) = h(g(f(x)))
(h o (g o f))(x) = h((g o f)(x)) =h(g(f(x)))

on dit que l'opérateur de composition "o" est associatif

h : C -> D

h o g o f : A -> D
x |-> h(g(f(x)))

2) :
Je n'arrive pas à déterminer ce que sont f, g et h.

Dans l'écriture : h(g(f))(x,y)

l'expression g(f) sous entends que g est une application et que f appartient à l'ensemble de départ de g

Il faut que tu te poses la question et que tu précises quelle sont les applications, quel est leur ensemble de départ et quel est leur ensemble d'arrivée

[chombier]

Merci pour vos réponses très claires! Je crois avoir compris maintenant!

Le problème, c'est que dans le secondaire, ne sont présentées que des fonctions du type f(x)=... et du coup un élève de terminale voit les deux objets f et (x) comme unis, alors qu'en fait pas du tout... Donc ensuite par exemple lorsque l'on voit (g o f)(x,y), on ne s'y retrouve plus, déjà parce que la variable est un couple (x,y) et aussi parce que l'on a pas une fonction du type f(x)...

C'est donc bien de venir se faire expliquer ce genre de choses pendant la terminale, pour ne pas être " pris au dépourvu " après, et être familier avec ce genre de notations.

Pour ce cas là :

f : A x B -> C
g : C -> D

g o f : A x B -> D

x élément de A, y élément de B, (g o f)(x,y) = g(f(x,y))