Comment montrer que deux suites sont adjacentes ?

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Jkookarmy
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Comment montrer que deux suites sont adjacentes ?

par Jkookarmy » 07 Oct 2020, 17:41

Bonjour je suis face à un exercice où je dois montrer que deux suites sont adjacentes.
Puis je dois déterminer leur limite commune.

J’ai : U(0) = 0 ; U(n+1)= (3U(n)+1)/4
Et, V(0)=2 ; V(n+1) = (3V(n) + 1)/4

Je procède aux étapes suivantes :
1) calculer les premiers termes en indication.
2) établir que l’une est croissante et l’autre décroissante, dans ce cas : je trouve U(n) décroissante, résultat négatif : (-1/4)*U(n) + 1/4 et V(n) décroissante également, resultat négatif : (-1/4)*V(n) + 1/4
Je ne trouve pas une croissante et une décroissante.
Je ne sais pas si c’est normal.

Après je ne sais pas quoi faire, la limite est la même aussi dans cette situation... ??
J’ai l’aide suivante pour la totalité de l exercice : montrer que la suite (V(n) - U(n)) est géométrique. Ma professeure a également indiqué qu’il fallait utiliser le raisonnement par récurrence à un moment donné mais je ne sais pas quand.

Merci d’avance pour votre aide :)



Rdvn
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Re: Comment montrer que deux suites sont adjacentes ?

par Rdvn » 07 Oct 2020, 22:20

Bonsoir,
1)
prouvez par récurrence que
0<ou= u(n) <1
v(n) > 1
2)
sens de variation des suites : calculez u(n+1)-u(n) et exploitez ci dessus,
même démarche pour v(n)
3)
u(n+1)-v(n+1) = (3/4).(u(n)-v(n)) : suite géométrique
Proposez vos essais
PS ceci est il proposé en Lycée ou en post- bac ?

Jkookarmy
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Re: Comment montrer que deux suites sont adjacentes ?

par Jkookarmy » 07 Oct 2020, 22:23

Je suis en terminale du coup lycée

Jkookarmy
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Re: Comment montrer que deux suites sont adjacentes ?

par Jkookarmy » 07 Oct 2020, 22:24

Je vais essayer ce que vous m’avez dit

Jkookarmy
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Re: Comment montrer que deux suites sont adjacentes ?

par Jkookarmy » 07 Oct 2020, 22:29

Pourquoi U(n) doit être comprise entre 0 et 1, si elle est croissante supérieure ou égale à 0 ne suffirait pas ?

Jkookarmy
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Re: Comment montrer que deux suites sont adjacentes ?

par Jkookarmy » 07 Oct 2020, 22:42

Comme c’est la même formule je trouve que c’est décroissant pour les 2 ce qui est faux

Rdvn
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Re: Comment montrer que deux suites sont adjacentes ?

par Rdvn » 08 Oct 2020, 09:25

Reprenez votre exercice soigneusement :
bien sûr u(n+1)-u(n) a toujours la "même formule" , c'est clair même sans la calculer,.
Mais cette formule montre que u(n+1)-u(n) est du signe de 1-u(n) , d'où l'utilité de montrer (par récurrence)
que, pour tout entier naturel n, 0<ou= u(n) <1.
Même principe pour v(n), avec cette fois ci v(n)>1 , pour tout entier naturel n .
Proposez vos essais

Black Jack

Re: Comment montrer que deux suites sont adjacentes ?

par Black Jack » 08 Oct 2020, 10:39

Bonjour,

Je montre pout la suite Un ...

Il faudra ensuite faire un travail similaire pour la suite Vn (A toi de le faire) ... pour pouvoir conclure.


U(n+1) - U(n) = (3U(n)+1)/4 - U(n)
U(n+1) - U(n) = (1 - U(n))/4

Si U(n) >= 0, alors (3U(n)+1)/4 > 0 donc U(n+1) > 0 (1)
Donc si U(n) >= 0, on a U(n+1) > 1

Comme U(0) >= 0, on a U(1) > 0
Comme U1 > 0, on a U2 > 0
Comme U2 > 0, on a U2 > 0
...
et ainsi de proche en proche, on peut conclure que tous les termes de Un sont positifs.

Si U(n) < 1 alors :
3U(n) < 3
3U(n) + 1 < 4
(3U(n) + 1)/4 < 1
U(n+1) < 1
Donc si U(n) < 1, on a aussi U(n+1) < 1

Comme U(0) < 1, on a U(1) < 1
Comme U(1) < 1, on a U(1) < 1
Comme U(0) < 1, on a U(1) < 1
...
et ainsi de proche en proche, on peut conclure que tous les termes de Un sont < 1 (2)

Avec (1) et (2) :
On a donc 0 <= U(n) < 1 (pour tout n de N)

---> U(n+1) - U(n) = (1 - U(n))/4 > 0
U(n+1) - U(n) > 0, la suite Un est croissante.

La suite Un est croissante et majorée par 1 ... elle est donc convergente.

La suite Un étant convergente, on a :
lim(n--> +oo) U(n) = lim(n--> +oo) U(n+1) = L , L étant la valeur vers laquelle la suite Un converge.

--> A partir de : U(n+1)= (3U(n)+1)/4 , on a, en passant à la limite pour n --> +oo :

L = (3L + 1)/4
4L - 3L = 1
L = 1

La suite Un est donc croissante et converge vers 1
******
Il faut tout comprendre ... avant d'attaquer le travail pour la suite Vn

8-)

Rdvn
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Re: Comment montrer que deux suites sont adjacentes ?

par Rdvn » 08 Oct 2020, 16:11

Bonjour
Pour l'étude de la limite, vu l'ensemble de l'exercice, il me semble clair que ce qui est attendu est le théorème sur les suites adjacentes.
C'est bien pour cela que j'attendais que jkookarmy ait traité au moins la première question : montrer que les deux suites sont adjacentes (cela me paraissait très abordable avec les indications déjà fournies)

Black Jack

Re: Comment montrer que deux suites sont adjacentes ?

par Black Jack » 08 Oct 2020, 20:07

Rdvn a écrit:Bonjour
Pour l'étude de la limite, vu l'ensemble de l'exercice, il me semble clair que ce qui est attendu est le théorème sur les suites adjacentes.
C'est bien pour cela que j'attendais que jkookarmy ait traité au moins la première question : montrer que les deux suites sont adjacentes (cela me paraissait très abordable avec les indications déjà fournies)


Bonjour,

Suites adjacentes.

Deux suites (an) et (bn) sont dites adjacentes sous 3 conditions :

- une des suites est croissante
- l'autre suite est décroissante.
- lim(n-->oo) (an - vn) = 0
*****
OU BIEN, ce qui revient au même :


Deux suites (an) et (bn) sont dites adjacentes sous 3 conditions :

- une des suite est croissante
- l'autre suite est décroissante.
- lim(n-->oo) an = lim(n-->oo) bn (valeur dans R)
*****

On peut donc, entre autres possibilités, pour la 3ème condition, calculer séparément lim(n-->oo) an et lim(n-->oo) bn et montrer que ces valeurs existent et sont égales.

8-)

Rdvn
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Re: Comment montrer que deux suites sont adjacentes ?

par Rdvn » 08 Oct 2020, 22:25

Bonsoir,

En math on peut toujours faire ce qu'on veut, pourvu qu'il n'y ait pas d'erreur de raisonnement.

Mais ici, la seule chose enseignée en terminale (donc à jkookarmy) c'est la définition avec l'étude de la
suite (v(n)-u(n)) .
C'est manifestement ce qui est attendu ici :
montrer que (v(n)-u(n)) est une suite géométrique (très facile, d'ailleurs)
D'où le plan de travail que j'avais proposé.

 

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