Comment justifier les exposants fractionnaires et décimales

[Gurvan44]

Bonjour,

https://youtu.be/VlFLK2YPsD4?list=PLyyMJPO8QlklRvvG9wrBtIV-9Op8FwaR4

Cette vidéo explique comment justifier les exposants négatifs. Je comprend bien le raisonnement mais ce qui me gène c'est que le raisonnement est uniquement intuitif et donc non-rigoureux.
Cela ne peut pas être simplement une convention alors il existe certainement une justification rigoureuse non ?

Il en va de même pour les puissances fractionnaires et irrationnelles comme 3^pi ou 3^sqrt(2), que se passe-t-il ? Je sais bien que pour les puissances 1/2, 1/3 etc.. cela revient à racine carré, cubique... mais je ne sais encore une fois pas vraiment pourquoi.

Merci d'avance pour vos réponses !

[capitaine nuggets]

Salut !

Je ne me souviens plus en quelle classe es-tu, ni si cela est encore vu en terminale S, mais pour , on a quel que soit réel :

[Pseuda]

Bonsoir,

Les exposants négatifs sont vus au collège. C'est une simple notation, il est quand même plus simple d'écrire les nombres sur une seule ligne que sur deux.

Elle se justifie car on s'est rendu compte que dans une fraction d'un même nombre avec des puissances, par exemple , on soustrait la puissance d'en bas à la puissance d'en haut. Donc la puissance d'en bas peut se mettre en haut avec un signe -, et toutes les règles sur les puissances restent valables avec les puissances négatives.

[capitaine nuggets]

Ah ok, après avoir lu le message de Pseuda, je me rends compte que j'étais à côté de la plaque...

[zygomatique]

salut

pas tout à fait : tu as répondu à la deuxième partie

il suffit de réviser les règles de calcul sur les exposants (entiers) :

(1)
(2)
(3)

et la convention

de (3) avec m = 0 et n = 1 on déduit que

et avec (2) on déduit que

de (1) et la convention (même si on tourne un peu en rond)

on tourne en rond

d (2) on déduit que ...

maintenant pour passer à des exposants réels on est obligé comme la dit le capitaine de considérer la fonction exp qui généralise l'exponentiation ...

[Pseuda]

Bonjour,

Pour les exposants fractionnaires, c'est comme pour les exposants négatifs : on se rend compte qu'on peut prolonger les règles sur les exposants positifs aux exposants négatifs et/ou fractionnaires, sans produire d'incertitude ou d'incohérence sur l'écriture :

Règles sur les exposants positifs : , , et si , (pour ).

Avec les exposants négatifs, prenons un exemple pour fixer les idées. En prolongeant la règle des exposants,, on peut donc écrire : .

Avec les exposants fractionnaires. Comme on a par exemple, et on a aussi , donc on peut écrire : . Pareil pour tous les exposants inverses de nombres entiers, et tous les exposants fractionnaires.

[zygomatique]

tiens il y a de l'écho sur le site ...

[Tiruxa47]

Certes on peut dire la même chose mais avec des nuances et c'est parfois ce qui fait la différence au niveau de la compréhension.

Donc je me méle à l'écho

En fait, la racine carrée est vue au collège de la façon suivante, si a est un réel positif c'est le nombre positif dont le carré vaut a.
Ensuite il faut trouver une notation à ladite racine carrée, on aurait pu inventer d'autres symboles que le radical et d'ailleurs celui ci a mis du temps à s'imposer, les premières notations étaient des R. Voir
http://www.math93.com/index.php/histoir ... ine-carree

La notation est apparue donc (voir posts précédents) lorsque l'on a généralisé les formules des puissances aux exposants non entiers puisque le carré de est bien égal à comme dans la définition de la racine carrée de .

Une dernière remarque :
pour les exposants réels n'existe que pour a >0 puisque c'est donc n'existe pas selon cette définition, or la racine carrée de 0 existe et vaut 0.
Donc si l'on veut utiliser comme notation de il faut préciser (dans la définition de ) que et plus généralement que pour tout nombre décimal d non nul.

[WillyCagnes]

Bonjour,
Avec les exposants fractionnaires. Comme on a par exemple, et on a aussi ,

Bjr, je trouve 2 au lieu de 1

[aymanemaysae]

Bonjour ;

Voici un lien qui te sera très utile : http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/fu/fu.pdf .

[aymanemaysae]

re-Bonjour ;

Pour le plaisir , voici un résultat qui peut t'inciter à approfondir tes recherches sur les fonctions puissance .

[Pseuda]

Bonjour,
Avec les exposants fractionnaires. Comme on a par exemple, et on a aussi ,

Bjr, je trouve 2 au lieu de 1

Merci ! J'ai modifié pour ne pas laisser ça. Tâchons de ne pas embrouiller plus que nécessaire.

[Pseuda]

tiens il y a de l'écho sur le site ...

Ah je n'avais pas vu que tu répondais aussi sur les exposants fractionnaires. Tant pis je laisse.

[zygomatique]

t'inquiètes pas ... no problemo ...

[Gurvan44]

Ok j'ai tout compris super !! J'ai même réalisé ducoup que n'est même pas une convention au fait et c'est rassurant et parfaitement logique ! :

On a vu que c'est tout à fait logique et intuitif que: et ainsi que On peut alors conclure que mais par ailleurs

[Pseuda]

re-Bonjour ;

Pour le plaisir , voici un résultat qui peut t'inciter à approfondir tes recherches sur les fonctions puissance .

Une petite explication s'impose. Pour l'écriture avec des exposants fractionnaires, le nombre qui est mis à la puissance doit être strictement positif. Par exemple, ne veut rien dire (car un carré est toujours positif), ou on peut transformer une puissance impaire en une puissance paire (en multipliant la fraction par 2 au numérateur et dénominateur), et ainsi transformer un nombre négatif en nombre positif, de façon à donner faussement un sens à cette écriture, ou à créer des incohérences comme celles du post d'aymanemaysae.

[Pseuda]

Super ! Pour la formule latex, il suffit de l'encadrer par des balises tex : tu sélectionnes la formule à encadrer puis tu appuies sur le bouton 'tex' en haut à droite de la fenêtre.