Combinaisons et dénombrements

[Guigz]

Bonjour,

Je vais passer bientôt des concours de la fonction publique, je m'entraîne donc sur des annales, mais j'aimerai savoir si mes résultats sont bons, j'ai du mal à me remettre dans les differences entre combinaisons, arrangements, etc...

"Carole et Jacques font partie d'un groupe de 12 femmes et 17 hommes devant élire un comité de 6 membres."

Nombre de comités possibles : 6 parmi 29 nCr (29,6) = 475 020

Nombre de comités avec Carole et Jacques : nCr (27,4) = 17 550

Nombre de comité sans Carole, ni Jacques : nCr (27,6) = 296 010

Nombre de comités avec l'un ou l'autre : nCr (2,1) * nCr (27,5) = 161 461 (ou 475 020 - 17 550 - 296 010)

Nombres de comité avec exactement 2 femmes et 4 hommes : nCr (12,2) * nCr (17,4) = 157 080

Nombre de comités avec au moins 2 hommes = 475 020 - 924 - 13 464 = 460 032

(Nombre de comités sans hommes : nCr (12,6) = 924
Nombre de comités avec un seul homme : nCr (12,5) * nCr(17,1) = 13 464

"Soit un nombre non-nul composé de quatre chiffres compris entre 0 et 9, sauf le premier chiffre."

Nombre de nombres possibles : 9x10x10x10 = 9 000
Nombre de nombres avec 4 chiffres distincts = 9*9*8*7= 4 536
Nombre de nombres avec au-moins 2 chiffres identiques = 9 000 - 4 536 = 4 464 (autre méthode ?)
Nombre de nombres avec 4 chiffres distincts sans le 5 ni le 7 = 7*7*6*5 = 1 470
Nombre de nombres avec 4 chiffres distincts dont le 5 et le 7 = 4536 - 1 470 - 448x2 = 2 170

(nombre de nombres avec 4 chiffres distincts et seulement le 5 : 8*8*7= 448
nombre de nombres avec 4 chiffres distincts et seulement le 7 = 8*8*7 = 448)

Cette dernière réponse me paraît fausse...Quelle méthode ? Parce que là j'aurais bien essayé de faire des arrangements, mais il y a répétition. Et puis le fait que le premier soit non-nul m'embête.
Bref merci à vous ;)

[Guigz]

Je me suis essayé sur un autre... :

Un sac contient 10 billes, dont :
4 blanches portent le chiffre 0
3 rouges le chiffre 7
2 blanches le chiffre 2
1 rouge le chiffre 5

Avec un tirage simultané de 4 billes, il y a : nCr(10,4)=210 tirages possibles.

On peut former le nombre 2000 avec nCr(2,1)*nCr(4,3)= 8 tirages --> probabilité de l'évènement : 8/210

Les numéros sont identiques ssi on a 4 fois le chiffre 0 soit 1 tirage (nCr(4,4)) --> probabilité de l'évènement : 1/210

Tous les jetons sont blancs pour nCr(6,4)=15 tirages --> probabilité de l'évènement : 15/210=1/14

Tous les jetons ont la même couleur = 15 + 1 = 16 tirages --> probabilité de l'évènement : 8/105

Au moins un jeton porte un numéro différent des autres = nombre de tirages - nombre de tirages avec tous les chiffres identiques = 202 tirages possibles --> probabilité de l'évènement : 202 /210 = 101/105

PROBABILITE DE POUVOIR ECRIRE 2000 SI TOUS LES JETONS SONT BLANCS :

On a 6 jetons, donc 15 tirages possibles. Tirage avec 2000 : nCr(4,3)*nCr(2,1) = 8.

Donc probabilité : 8/15.

OU : probabilité d'avoir 2000 et tous les jetons blancs = probabilité d'avoir 2000 = 15/210
probabilité d'avoir 2000 = 8/210 --> (15/210) / (8/210) = 15/8

____

Si le joueur tire 5000, il gagne 75e
Si le joueur tire 7000, il gagne 50e
si le joueur tire 2000, il gagne 20e
si le joueur tire 0000, il perd 25e
tous les autres tirages, il perd 5e

G=gain : etablir sa loi de probabilité et calculer son espérance mathématique (bon je regroupe les deux questions en calculant directement l'espérance)

(4/210)*75+(12/210)*50+(8/210)*20-(1/210)*25-(185/210)*5 = 11/21 = 0.5

En jouant à ce jeu, on peut gagner en moyenne 0,5€.


:hum:

[chan79]

Nombre de nombres avec au-moins 2 chiffres identiques = 9 000 - 4 536 = 4 464 (autre méthode ?)

Tu peux chercher le nombre de nombres avec deux chiffres identiques et les deux autres différents entre eux et différents des deux premiers: tu arrives à 9*9*8*6=3888
Ensuite tu cherches le nombre de nombres avec deux chiffres identiques et les deux autres identiques aussi mais différents des deux premiers: tu arrives à 9*9*3=243
Ensuite tu cherches le nombre de nombres avec trois chiffres identiques et le quatrième différent des autres : 9*9*4=324
Si tous les chiffres sont différents: 9
On ajoute 3888+243+324+9=4464
Evidemment, il vaut mieux prendre ta méthode :zen:

[chan79]

Nombre de nombres avec 4 chiffres distincts dont le 5 et le 7 = 4536 - 1 470 - 448x2 = 2 170

(nombre de nombres avec 4 chiffres distincts et seulement le 5 : 8*8*7= 448
nombre de nombres avec 4 chiffres distincts et seulement le 7 = 8*8*7 = 448)

Cette dernière réponse me paraît fausse...Quelle méthode ? Parce que là j'aurais bien essayé de faire des arrangements, mais il y a répétition. Et puis le fait que le premier soit non-nul m'embête.
Bref merci à vous

Effectivement, j'ai moins
Vois les différentes dispositions du 5 et du 7 (tu peux supposer que le 5 est à gauche du 7 et multiplier le résultat par 2)
Ca fait les cas:
5 7 _ _
5 _ 7 _
5 _ _ 7
_ 5 7 _
_ 5 _ 7
_ _ 5 7
Ca doit te donner 630

Remarque:(autre façon)
Pour le nombre de nombres avec 4 chiffres distincts et seulement le 5, il faut envisager deux cas, selon que le 5 est en première position ou pas: 8*7*6+7*7*6*3=1218
4536-(1470+1218+1218)=630