Coeffiient directeur, tangante... coup de pousse svp !

[AmeeYuki]

Bonjour à tous, je me présente Isabelle, je suis en terminale STL-C (Bac Technologiques, Sciences Technologiques en Laboratoire). C'est un Bac scientifique, mais avec des maths plus allégés que ceux des S, et un approfondissement plus important en physique et chimie.

J'ai un Devoir Maison de Mathématiques à rendre. J'ai fais un exercice sur deux. Le deuxième me pause problème, il vous paraitra surement anodin :/

Je vous expose l'énoncer :

" Soit f la fonction définie sur R par f(x)=x³-3x+3 et C sa courbe représentative dans un plan muni d'un repère orthonormé (O;i;j) unité 1 cm.

1) Déterminer le coefficient directeur de la tangente à C au point d'abscisse 1/2
2) Construire C et T
3) Déterminer les coordonnées du point A de C tel que la tangente à C en ce point soit parralèle à la droite d'équation y = 6x.
4) Démontrer que l'équation f(x)=0 admet une seul solution x0
5) Trouver à l'aide d'une calculatrice, un encadrement d'amplitude 0,01 de x0."


1) pour déterminer le coeffecient directeur j'ai calculer la dérivée de la fonction f, soit :

f'(x) = 3x² - 3

Puis, f'(1/2) = 3*(1/2)² - 3 = -2,25.

Le coefficient directeur est négatif, donc la courbe C sera décroissante.

Pour cela je pense que j'ai fais juste...

2) Construire C et T ??? Eu ... J'ai tracé mon repère orthonormé, unité 1cm.
Mais je ne sais pas où débute la courbe, je ne me rapelle de rien quand il s'agissait de tracer les courbes en fonction d'un coefficiant directeur...

3) Une fois la courbe et la tangente tracée, il faut tracer une droite d'équation y = 6x (j'ai pas compris comment la tracer ... remplacé x par 1/2, faire fois 6, et cela donnera le lieu où je dois tracer celle-ci) ... Je sais aussi que si 2 droites sont parallèles, elles ont le même coefficient direteur.

4) Je pense qu'il faut isoler les x de la dérivé de la fonction et que cela donnera l'unique solution.

5) Pour cette question je n'ai vraiment aucune piste....


Je dois vous paraitre idiote à ne pas arriver à le faire. Si vous pouviez me mettre sur la voie, je ne demande pas la réponse, je ne demande qu'à comprendre, ça n'est pas à vous de faire mon DM =/


Merci beaucoup

[Kikoo <3 Bieber]

Kikoo,

Attention ! Une dérivée négative en un point ne veut pas dire que la fonction est décroissante. Elle l'est localement (au voisinage de x=1/2 ici) mais pas globalement. Pour savoir sur quels intervalles elle est croissante et décroissante, il faut analyser le signe de sa dérivée, donc dire sur quels intervalles sa dérivée g(x)=3x^2-3 est positive, négative, ...

[AmeeYuki]

J'emploi la leçon du polynome du second degré ?

Je calcul le discriminant ? :(

[sylvain.s]

Pas besoin , 3x²-3 c'est une fonction simple tu poses l'équation pour que ce soit égale à 0 et tu trouveras 2 solutions ;)

Tu fais le tableau de signe f' , et après le tableau de variation pour f

Mais on te le demandes pas ? ou j'ai mal compris l'énoncé ^^

[Kikoo <3 Bieber]

On veut tracer C et T.
Sachant que C change de monotonie en x=-1 et x=1 il faut faire attention à ne pas dessiner une courbe monotone sur [0;2] par exemple. Un simple tracé sur la calto suffit pour s'en convaincre.
Sachant qu'ici on cherche à dessiner une courbe au crayon, il faudra justifier la forme de la courbe par de petits calculs.

[AmeeYuki]

On me demande : 1) de calculer le coefficient directeur ===> fait

2) construire C et T
3) determiner les coordonnées du point A et C tel que la tangente à C en ce point soit parallèle à la droite d'équation y = 6x.
4) Démontrerr que l'équation f(x)=0 admet une seule solution x0
5) trouver, a l'aide de la calculatrice un encadrement d'amplitude de 0,01 de x0

[sylvain.s]

Pour la question 3) tu dois trouver pour quel x , (3x²-3) = coefficient directeur de y=6x

Pour la question 4) Tu dérives, tu fais le tableau de signe f' , le tableau de variations de f, tu calcules les images de f quand f'=0, et enfin tu utilises le théorème des valeurs intermédiaire

(je crois qu'on appelle aussi théorème de bijection)

[Kikoo <3 Bieber]

Pour la question 3) tu dois trouver pour quel x , (3x²-3) = coefficient directeur de y=6x

Pour la question 4) Tu dérives, tu fais le tableau de signe f' , le tableau de variations de f, tu calcules les images de f quand f'=0, et enfin tu utilises le théorème des valeurs intermédiaire

(je crois qu'on appelle aussi théorème de bijection)

Le théorème de la bijection est une conséquence du TVI. Il dit que pour une fonction continue et monotone sur un certain intervalle, celle-ci effectue une bijection de l'intervalle antécédent sur l'intervalle image correspondant.
Ceci permet de justifier qu'une fonction s'annule en une seule abscisse si elle est monotone et continue sur un certain intervalle, et si elle change de signe sur cet intervalle.

[sylvain.s]

Ducoup c'est le théorème de la bijection qu'il faut utiliser ?

[Kikoo <3 Bieber]

Oui :)

Ce qui m'embète par contre, c'est que l'on (ou bien Isa) n'a pas précisé l'intervalle sur lequel on étudie la fonction. On s'apercevrait assez vite en effet que f s'annule deux fois sur R, mais pas sur un intervalle bien déterminé...

[sylvain.s]

ah bon ? je trouve qu'elle s'annule qu'une seule fois :hein:

[Kikoo <3 Bieber]

Ah oui exact je suis con ^^ N'ayant pas fait les calculs je me suis basé sur des observations à la calto, et j'avais tapé une mauvaise constante... donc la fonction s'annulait deux fois pour moi (j'avais marqué 2 au lieu de 3).
Ce qu'il faut cependant savoir, c'est que pour tracer la fonction (là encore, sur quel intervalle ??), il est nécessaire de voir qu'elle est croissante, puis décroissante puis enfin croissante à nouveau.