Coefficients de Fourier

[Anonyme]

Bonjour,

j'ai cru comprendre que si la série des coefficients de Fourier
(exponentiels) d'une fonction f convergeait absolument, alors f était égal à
la série somme de -infini à + infini des coeff*exp(i*n*t), est-ce vrai ??
Dans ce cas, comment le démontrer ??
Merci

[Anonyme]

"Mathieu VIENNEY" a écrit dans le message de
news: bt8m6g$gn5$1@news-reader4.wanadoo.fr...
> Bonjour,
>
> j'ai cru comprendre que si la série des coefficients de Fourier
> (exponentiels) d'une fonction f convergeait absolument, alors f était égal
à
> la série somme de -infini à + infini des coeff*exp(i*n*t), est-ce vrai ??
> Dans ce cas, comment le démontrer ??
> Merci
>
>
En fait ce n'est pas tout à fait vrai : f est seulement "presque partout"
égale à la somme de sa série de Fourier.
Si on rajoute comme hypothèse que f est continue, elle est égale (partout) à
la somme de sa série de fourier

Soit f une fonction intégrable telle que sa série de Fourier CVA. Appelons
ses coefficients c_n. On a alors somme(|c_n|,n=-inf..+inf)<+inf
Soit g(x)=somme(c_n.exp(inx),n=-inf..+inf)
g est bien définie et continue sur R, car la série CVN.

Les coefficients de fourier de g sont aussi les c_n (car la série CVN, donc
on peut intervertir intégrale/série)

Les coefficients de Fourier de f-g sont donc nuls : càd f-g est orthogonal à
tout polynôme trigonométrique.
Comme les polynômes trigonométriques sont denses dans L2(0,2pi), on en
déduit que f-g est nulle dans L2(0,2pi), c'est à dire : f-g est nulle
presque partout