Codage Maths expert

[LoanAimeLesMaths]

Bonjour j'aurai besoin d'aide pour un exercice de maths expert sur le codage affine.
le sujet est :
Pour coder un message, on applique le procédé suivant :
Si x est le rang dans l’alphabet d’une lettre, alors cette lettre sera remplacée par la lettre dont le rang dans l’alphabet,
est égal au reste de la division euclidienne de 7x par 26. On dit que 7 est la clé de ce codage.
Enfin on convient que le rang de la lettre A est 0.
1. a) Vérifier que dans ce codage, la lettre S est remplacée par la lettre W.
b) Coder alors le message : « Que feras-tu après ton bac ? »
2. a) Soit x et y deux entiers compris entre 0 et 25, montrer que si
7x congru 7y [26]
alors x = y.
b) En déduire que deux lettres différentes sont toujours codées différemment.
3 a) Justifier à l’aide d’un théorème qu’il existe un entier u tel que
7u congru 1 [26]
b) Déterminer le plus petit entier naturel
Uo
qui vérifie
7Uo congru 1 [26] 0 .
On dit que
0 u
est la clé de décodage.
c) Montrer que si
7x congru r [26]
alors
x congru Uo r [26]
4. Le message suivant a été codé avec la clé de codage 7 : « Z’ APEDXGCDEIKC O’CWD OABDERAND ! »
A l’aide de 3c), décoder ce message.

Mes requêtes :

Donc , pour la question 1 j'ai réussi , j'ai du mal avec la question 2 .
Pour la 2a je pense qu'il faut montrer que 7(x-y)=26k et comme 7 premier avec 26 alors 26/(x-y) d'après le théorème de Bézout , donc x-y congru a 0 [26] donc x congru a y [26] d'où x=y modulo [26] quand x = 0
soit que la lettre A sera après codage la lettre A
pour la 2b je ne sais pas par où commencer.
Pour le 3a est-ce le théorème de gauss qu'il faut utiliser?
Pour le 3b il faut faire un tableau des congruence et prendre la plus petit valeur pour laquelle 7u congru 1[26]
pour la 3c je ne sais pas par où commencer.

Merci d'avance pour vos réponse.

[Rdvn]

Bonsoir
2a)c'est le théorème de Gauss : 7x=7y [26] si et seulement si 7(x-y)=0 [26]
puis comme vous avez fait, en précisant un peu la fin :
pour x et y deux entiers situés entre 0 et 25, x=y [26] implique x=y
2b) est une conséquence immédiate de 2a) :
si deux lettres sont différentes elles ont des rangs x et y différent
3) 7 et 26 sont premiers entre eux , PGCD (7,26) =1
Résoudre l'équation 7u+26v = 1 (u et v entiers) théorème de Bezout, ou Bezou-Bachet
3c)7U0 =1 [26]

[Rdvn]

PS suite à mes premières indications ci dessus : proposez vos essais, j'y répondrai demain

[LoanAimeLesMaths]

Merci pour vos explications .

[Rdvn]

Posez d autres questions en cas de difficulté
Bon courage

[LoanAimeLesMaths]

Bonjour, en appliquant la méthode de résolution diophantienne on trouve que les solution sont de forme ( 26k+15; -7k-4) pour l'exo 3a
pour le 3b
Uo=15 car U=26k+15 donc pour k=0 , U=15 et 7*15=1[26]
3c
15 est donc la clé de décodage

[LoanAimeLesMaths]

j'aurais besoin aide aussi pour
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant .
Proposition 1 : « Le PGCD de 2004 et 4002 est 6 »
Proposition 2 : « Si u et v sont des entiers relatifs tels que 5u – 7v = 1 alors
u ^v=1
»
Proposition 3 : « Si
n =1[7]
alors PGCD(3n + 4 ; 4n + 3) = 7 »
Proposition 4 : « Pour tout entier n de N* , 2**n-1 n’est jamais divisible par 9 »
Proposition 5 : « 2**781+3**1562 est divisible par 11

je trouve que :
1 est vrai , 2 je ne trouve pas , 3 je ne trouve pas , 4 je trouve faux , 5 je trouve vrai

[Rdvn]

Alerté par mail du forum :
OK pour la fin du premier exercice
Pour l'autre, je n'ai vraiment pas le temps pour le moment :
qu'un autre membre du forum prenne la suite si il le veut

[Rdvn]

Bonsoir
Ayant à présent quelques minutes
1-oui, par l'algorithme d'Euclide
2-si u^v signifie PGCD(u,v) ?
si oui :
c'est le théorème de Bezout-Bachet
3-
4n+3 -(3n+4)=n-1
donc PGCD(4n+3,3n+4) = PGCD(3n+4,n-1)
puis
3n+4-3(n-1)=7
à vous...
4- un tableur donne facilement un contre-exemple (au fait 2**n , c'est bien 2 puissance n?)
5-Avez vous vu le théorème de Fermat ?
Si non c'est faisable tout de même, mais plus laborieux, à vous...
Proposez vos essais

[LoanAimeLesMaths]

bonsoir , pour u^v=1 signifie que u et v sont premier entre eux , je n'ai pas encore vue les théorèmes que vous avez mentionné

[LoanAimeLesMaths]

pour le 5 , je pense qu'il faut passer par la congruence , en essayant de se ramener a un produit de puissance
.

[Rdvn]

Bonsoir
u et v premiers entre eux est bien équivalent à PGCD(u,v)=1
Donc cette notation doit bien désigner le PGCD

Pour Bezout-Bachet :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o ... A9ciproque
C'est ce dont il s'agit ici.

Pour la 5 : c'est l'idée générale, il faut utiliser les congruences
Voyez sur Internet :
Petit théorème de Fermat
Cela vous dit il quelque chose ?
Si non on reprendra
Proposez vos essais...

[LoanAimeLesMaths]

nous avons vue le théorème de bézout

[LoanAimeLesMaths]

par contre nous avons pas encore vue le théorème de Fermat ^^

[LoanAimeLesMaths]

ces exercices proviennent d'un devoir maison que je dois rendre a la rentrée.

[Rdvn]

Bon
Sans le théorème de Fermat c'est laborieux :

Vous montrez 2^10=1 [mod 11]
par essais successifs de 2^n , pour n=2,3,...10
De même par essais successifs vous montrez
3^5=1 [mod 11]
et on a donc
3^10=1 [mod 11]
on exploite alors
781=78*10+1
1562=156*10+2
A vous, proposez vos essais

Remarque de peu d'importance :
on aurait pu aussi exploiter 1562=312*5+2

[Rdvn]

Pas d'autre question ?
Si oui : maintenant
Je ne suis plus disponible ce soir ni sur le WE...

[LoanAimeLesMaths]

ce sera tout merci à vous.

[LoanAimeLesMaths]

bonsoir, pouvons nous revenir au 3c j'ai pas trop compris comment je fais pour montrer que si 7Uo=r[26] alors x=Uor[26]

[Rdvn]

Bonjour
On a montré que U0=15
donc 7*15 = 1 [26] (ce qu'on peut vérifier, d'ailleurs)
Lorsque 7x = r [26] , codage
alors
15*7x = 15r [26]
donc
1x = 15r [26]
soit
x = 15r [26] , décodage
Ça va ainsi ?