CNS de surjectivité d'un polynôme

par **Nightmare** » 12 Juil 2010, 13:36

Salut,

un exercice rapide :

P est un polynôme complexe. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que tout rationnel admette au moins un antécédent rationnel par P.

Amusez-vous bien

:happy3:

par **benekire2** » 12 Juil 2010, 17:26

Salut !

Cet exo me parrait intéressant ( comme tout ceux que tu poste) et évidemment non trivial ,
Cependant il me manque des trucs ; les coefficients de P sont dans R ou C pour commencer ?

par **Ben314** » 12 Juil 2010, 17:58

Bon, allez, j'attaque (tatatsoin...)
Comme condition suffisante, j'ai que P(X)=aX+b avec

et

... :triste:

Edit : pour répondre à Benekire, l'énoncé est (assez) clair : à priori les coeffs de P sont complexe (donc une première étape pas trés dure consiste à montrer que ce sont forcément des quotients...)

par **benekire2** » 12 Juil 2010, 18:06

Bah moi aussi comme condition nécessaire j'ai P(X)=aX+b mais bon ... il y a surement bien mieux et surtout plus nécessaire ...
Ben -> Pour moi, polynôme complexe c'est un polynôme avec lequel on travaille en des valeurs complexes c'est tout. Mais c'est parce que je connais rien sur les polynômes ... :zen:

par **Ben314** » 12 Juil 2010, 18:16

Ici, le mot polynôme désigne une fonction de C dans C de la forme
P(x)=a0+a1x+...+adx^d où les ai sont dans C.
Ce qu'on suppose, c'est que, pour tout y dans Q, il existe (au moins) un x dans Q tel que P(x)=y.

Avec ça j'arrive à montrer que les coeffs ai sont forcément dans Q et je conjecture trés fort que la condition clairement suffisante P(x)=ax+b (a non nul) est en fait nécessaire.

Indic pour montrer que les ai sont non nuls : étant donné x0,x1,...xd (distincts) et y0,y1,...,yd (pas forcément distincts) fixés, il existe un unique polynôme Q de degrés d tel que Q(xi)=yi et on peut écrire explicitement Q...

Edit : Je pense avoir trouvé (et la condition est bien nécessaire).
J'utilise aussi le fait (façile à montrer) que, si un quotient p/q (irréductible) est racine d'un polynôme a0+a1x+...+adx^d à coefficients entiers alors p divise a0 et q divise an ...

par **Nightmare** » 13 Juil 2010, 03:05

Hello tous les deux :happy3:

Benekire >

les coefficients de P sont dans R ou C pour commencer ? [...] polynôme complexe c'est un polynôme avec lequel on travaille en des valeurs complexes c'est tout.

La remarque n'est pas pertinente (au sens propre, non péjoratif bien évidemment :lol3: ) du fait que théoriquement, quand on parle de polynôme, on ne parle que de la "suite" de ses coefficients. On peut parler ensuite, sous certaines conditions, de la fonction polynômiale associée. Naturellement du coup, quand je dis polynôme "complexe", ce sont les coefficients qui sont complexes et peu importe dans quel ensemble on décide de faire vivre l'indéterminée. D'ailleurs ici, malgrè le terme polynôme "complexe", seul ce qui se passe dans Q nous intéresse.

Bah moi aussi comme condition nécessaire j'ai P(X)=aX+b mais bon

a et b doivent être rationnels aussi. Tu as fait 99 % du travail si tu as trouvé ça, le cas "suffisant" étant alors évident. Question alors, comment trouves-tu cela ? (Ben ayant spoilé que la condition était bien nécessaire)

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Ben > Pour les coefficients rationnels : Lagrange, ok ! Perso, en écrivant la chose, j'ai plutôt vu du Vandermonde...

Sinon pour la conclusion, c'est bien ce que j'ai utilisé aussi. Niquel :happy3:

par **Ben314** » 13 Juil 2010, 07:34

Nightmare a écrit:Ben > Pour les coefficients rationnels : Lagrange, ok ! Perso, en écrivant la chose, j'ai plutôt vu du Vandermonde...

Si tu parle du polynôme de Lagrange et du déterminant (ou du système d'équations linéaires) de Vandermonde, c'est un peu les deux facettes du même problème et il me semblait que la facette "Lagrange" était plus simple à expliquer niveau Lycée du fait qu'il n'y a quasi rien à savoir concernant l'algèbre linéaire...

par **benekire2** » 13 Juil 2010, 08:15

Nightmare a écrit:Hello tous les deux :happy3:

Benekire >

La remarque n'est pas pertinente (au sens propre, non péjoratif bien évidemment :lol3: ) du fait que théoriquement, quand on parle de polynôme, on ne parle que de la "suite" de ses coefficients. On peut parler ensuite, sous certaines conditions, de la fonction polynômiale associée. Naturellement du coup, quand je dis polynôme "complexe", ce sont les coefficients qui sont complexes et peu importe dans quel ensemble on décide de faire vivre l'indéterminée. D'ailleurs ici, malgrè le terme polynôme "complexe", seul ce qui se passe dans Q nous intéresse.

a et b doivent être rationnels aussi. Tu as fait 99 % du travail si tu as trouvé ça, le cas "suffisant" étant alors évident. Question alors, comment trouves-tu cela ? (Ben ayant spoilé que la condition était bien nécessaire)

Et bien en fait j'ai écrit n'importe quoi, c'est P(X)=aX+b en condition suffisante que j'ai , j'ai pas la nécessaire ... Je vais regarder tout ça ...

par **Nightmare** » 13 Juil 2010, 13:09

Ben314 a écrit:Si tu parle du polynôme de Lagrange et du déterminant (ou du système d'équations linéaires) de Vandermonde, c'est un peu les deux facettes du même problème et il me semblait que la facette "Lagrange" était plus simple à expliquer niveau Lycée du fait qu'il n'y a quasi rien à savoir concernant l'algèbre linéaire...

Oui oui, cela revient strictement au même ! Concernant le niveau, nous étions entre nous :lol3:

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