Choisir la route la plus courte - sinus et cosinus TS

[Cybermate]

Bonjour,
je dois actuellement faire un DM qui porte sur la route du Rhum.
Il consiste à déterminer, parmi les deux types de trajets qui nous sont proposés (orthodromique ou loxodromique) lequel est le plus court.
J'ai ici un lien vers le schéma qui accompagne les questions (PS: les questions en dessous l'image ne correspondent pas vraiment avec les questions de mon sujet).
http://img11.hostingpics.net/pics/386897Sanstitre.png

Voici les questions en lien avec mon sujet :

NB : certaines lettres que je vais utiliser ci-dessous ne correspondent peut être pas à celle du sujet, donc :
l'angle a est tout simplement l'angle AIB et b est l'angle AOB.

1)
a)Démontrer que AB=2r sin(a/2))=2R(b/2)

-> J'ai beaucoup de mal avec les cercles ^^', auriez-vous une piste ?

b) En déduire alors que r/R sin(a/2)=sin(b/2)

2) Démontrer que si l>L alors

r/R * a/2 > b/2

Je ne mets pas les autres questions car je pense que si j'ai bien compris le début le reste viendra plus facilement.

Pourriez-vous m'éclairer sur la Question 1), du moins la a) ?

Merci d'avance,

[Ben314]

Salut,
Commence par faire deux dessins "à plat" correspondant aux deux "coupes" de la sphère suivant les plans OAB (passant par le centre) et IAB (parallèle au plan équatorial).

Ensuite, par exemple sur le dessin avec OAB, place le milieu M du segment [AB], explique pourquoi le triangle OMA est rectangle en M, pourquoi l'angle AOM est la moitié de l'angle AOB et enfin utilise une formule de trigo. classique dans ce triangle rectangle.

Tu fait exactement la même chose sur l'autre dessin.

[Cybermate]

Merci, je m'y met de suite !

[Cybermate]

Donc, le triangle est rectangle en M car M est l'intersection de la médiatrice issue de O avec [AB].
Ensuite pour expliquer que le triangle AOM est la moitié du triangle OMB c'est en lien avec la médiatric aussi je suppose?

[Ben314]

Oui, c'est ça.
En fait tu peut directement dire (il me semble que c'est vu au collège) que, vu que le triangle OAB est isocèle en O, la bissectrice, la médiane et la hauteur issue de A sont confondues.
Donc la droite (OM) qui est par définition la médiatrice issue de O (vu que M est le milieu de [AB]) est aussi la hauteur issue de O (ce qui explique l'angle droit) ainsi que la bissectrice issue de O (ce qui explique que l'angle AOM est la moitié de AOB)

[Cybermate]

Oui, c'est ça.
En fait tu peut directement dire (il me semble que c'est vu au collège) que, vu que le triangle OAB est isocèle en O, la bissectrice, la médiane et la hauteur issue de A sont confondues.
Donc la droite (OM) qui est par définition la médiatrice issue de O (vu que M est le milieu de [AB]) est aussi la hauteur issue de O (ce qui explique l'angle droit) ainsi que la bissectrice issue de O (ce qui explique que l'angle AOM est la moitié de AOB)

D'accord, j'ai trouvé les formules de trigonométrie demandées dans la 1)a.
Pour la b, déduire que le rapport r/R*sin a/2=sin b/2 j'ai également trouvé assez facilement en simplifiant.
Toutefois pour la seconde question, qui consiste à démonter que si l>L (où l est la distance AD sur le petit cercle et L la distance AD sur le grand cercle), alors :
r/R * a/2 > sin(b/2)
Avez-vous une petite piste?

[Ben314]

La première partie est "bête comme choux" : de (3) et (4) tu déduit que
et, comme , ça te dit que et sont de même signe.

Pour la deuxième partie, tu dit que et
sont tout les deux dans l'intervalle et que la fonction sinus est strictement croissante sur cet intervalle là, donc les deux réels sont rangés dans le même ordre que leur sinus.

Après, si ça t'intéresse, il y a une preuve avec zéro calculs que l'arc de cercle qui donne le trajet le plus court entre deux points du globe est celui qu'on obtient en coupant le globe avec un plan passant par le centre...

[Cybermate]

D'accord,
mais pour la (3) et la (4), comme ce n'est pas tout à fait les mêmes questions je devrais d'abord les retrouver.
Je ferai ça demain.

[Cybermate]

On a bien AD=a*r car c'est un arc de cercle de rayon r et l'angle est noté a.
Idem pour l'autre cercle.
A la fin de mon DM je trouve que la route orthodromique est plus courte.

[Ben314]

Oui, c'est effectivement en suivant un grand cercle que la route est la plus courte.

Après, on arrive très bien a le voir sans calculs : si sur une feuille on prend 2 points A et B qu'on relie par différents arcs de cercles, il apparait assez clairement que, plus le rayon du cercle "supportant" l'arc est grand, plus l'arc en question est proche de la ligne droite donc il est de plus en plus court (quand le rayon augmente)
Donc sur la terre, pour aller au plus court, il faut prendre le cercle "le plus grand possible" passant par les deux points qu'on s'est donné et ce "plus grand cercle possible", il est assez clair que c'est celui passant par le centre de la terre.