Changer une écriture avec la fonction exponentielle.

[Maxime-59]

Bonjour,

Comme dis dans le titre, j'ouvre ce topic car il y a une question récurrente dans les exercices type analyse de fonction (que l'on aura au bac) qui me pose souvent (pour ne pas dire toujours) des problèmes.
Ces questions portent sur le changement d'écriture d'un quotient (par exemple) qui contient la fonction exponentielle. Ce changement d'écriture est souvent nécessaire pour le calcule d'intégrale ou pour simplifier la dérivation. Je ne sais pas si vous comprenez bien ce dont je parle, c'est pourquoi, je vais vous donnez un exemple concret.

Cette fonction est la fonction donnée dans l'énoncé de l'exercice. La première question est :

Vérifier que pour tout réel x,

Voilà, je n'arrive jamais à faire ce genre de question, comment faut-il faire ? Je sais qu'il faut utiliser une des propriétés de la fonction exponentielle à savoir :

Auriez des autres exemples pour que je puisse m’entraîner ?

Merci

[Sylviel]

Il suffit de diviser le numérateur et le dénominateur par e^x.

[Archibald]

Un simple division par e^x suffit ici.

Edit: grillé.

[Maxime-59]

Je n'y arrive pas :triste:


Si on divise tout par
On obtient : 4/(e^x+7)/e^x = (4*e^x)/(e^x+7) donc on retombe sur la fraction du début (désolé je n'arrivais pas à mettre les balises tex pour une double fraction)

[Archibald]

[Maxime-59]

Oups, j'ai rien dis, comme dirai ma prof de maths "pour démontrer une égalité, on part d'un membre et on essaye d'obtenir l'autre". Ici il fallait en fait partir de la deuxième forme pour trouver la première!

Merci beaucoup à vous !! :D

[Archibald]

En l'occurence, nous sommes partis de l'expression de départ pour retomber sur celle d'arrivée. Mais tu aurais tout aussi bien pu partir de l'expression d'arrivée



En général, il y en a toujours une un peu plus évidente que l'autre.

[Aredhell]

Cette fonction est la fonction donnée dans l'énoncé de l'exercice. La première question est :

Vérifier que pour tout réel x,

[Maxime-59]

Oui voilà, moi là je suis parti de la deuxième pour retomber sur la première
Je vais m'entrainer sur des sujets analogues glanés dans mon livre et sur internet, si j'ai à nouveau des soucis, je ferai appel à vous :)

[Maxime-59]

Nouvel exemple :

D'après le sujet de 2013 tombé à Pondichéry.

Voici la fonction de l'énoncé :


Montrer que

Même technique que pour la fonction de toute à l'heure, je suis parti de la forme que l'on me demande de vérifier et j'ai tout divisé par et lors de mon développement, quand j'ai j'ai cité la propriété de cours qui me permet de dire que c'est égale à .

Tout est bon ?

D'ailleurs, petits conseils à d'éventuels terminales qui passeraient par ici, écrivez toujours les propriétés de cours qui vous permettent de dire telle ou telle chose car comme dirai ma prof de maths "le bac est remplie de bluffeurs alors montrez que vous n'en êtes pas"

[Archibald]

Tu peux détailler ton calcul, stp ?

A priori, tu dois voir au premier coup d’œil qu'on retrouve la deuxième expression en multipliant le numérateur et le dénominateur de la première par

Autrement, oui :

[Maxime-59]

Montrer que

On divise numérateur et dénominateur par
On obtient :

D'après la propriété de cours, je peux dire que
D'ou

[Archibald]

Impeccable.

NB : tu n'as pas non plus besoin de préciser que tu utilises telle ou telle propriété de l'exponentiel ou du logarithme sur ta copie. Le correcteur s'en rendra bien vite compte puisque de toute manière, il s'attend forcément à ce que tu l'utilises.

[Maxime-59]

Tu crois ? Car ma prof cette année lorsque l'on utilisait des propriétés dans nos DS sans les dire avant on avait droit à des petits commentaires genre "Ha bon ?" ; "Je n'en crois rien !" ; "Pourquoi ?". Elle dit que certains élèves font de petits bricolages pour trouver des résultats comme ceux-ci (car souvent au bac on nous dit "démontrer que ..." ; "montrer que...." : "prouver que ..."). Et je pense qu'une copie ou l'élève montre vraiment qu'il sait sera valorisé, non ? :)

En tout cas merci de ton aide!

[Archibald]

Parce que les DS permettent de savoir si toutes les propriétés du cours ont été bien assimilées. Un peu à l'image des ROC en section S.

Si tu passes de à
ton correcteur ou ta correctrice se doutera bien que tu as utilisé l'une des propriétés de l'exponentielle, il n'y a pas de problème pour moi.

Dans une démonstration, il y a toujours quelques étapes dispensables.