Cette fonction existe-t-elle ?

[egan]

Salut,
Je me demandais s'il existait une fonction telle que:
f(a*b)=f(a+b), a et b réels.
Si cette fonction est défini sur R, a*b peut être nul.
Donc f(0)=f(a) ou f(0)=f(b), pour tous réels a et b. Donc il s'agirait de n'importe quelle fonction constante.
Qu'en serait-il dans les autres cas ?
Je vous avoue que je ramme sur ce coup là.
Si on pose f(a*x)=f(a+x) et qu'on dérive par rapport à x, on trouve:
a*f'(a*x)=f'(a+x) mais ça change pas beaucoup du problème de départ.
Vous auriez des idées ?
@+ Boris.

[Dinozzo13]

Je pense qu'il faut que tu choisisse un type de fonction, par exemple : ou etc. tu calcule et et tu regarde si . :ptdr:

[egan]

Ca va faire long si il faut essayer toutes les fonctions possibles. :briques:

[Dinozzo13]

t'est pas obligé de toutes les faire ^^. Mais en général dans des exercices on te demande de déterminer des choses comme la tienne f(ab)=f(a+b), mais auparavant, ils t'ont défini un type de fonction. Après si t'est curieux tu peux en faire pas mal.

[egan]

Oui mais c'est pas un exercice. ^^ C'est juste pour m'amuser. :we:

[girdav]

Bonsoir.

Ca va faire long si il faut essayer toutes les fonctions possibles.

Je suis d'accord: on peut après avoir épuisé le stock des fonctions polynomiales, puis rationnelles, tenter des composées de toutes sortes de fonctions: pas de risque de chômage!
Sinon la relation doit-elle être vraie pour tous réels et ?
On peut par exemple supposer que c'est vrai seulement pour et non nuls;

[busard_des_roseaux]

bonjour,

f est constante.



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sinon, on pose x=ab,y=a+b

x et y peuvent être choisis arbitrairement si l'équation du second degré
d'inconnues a,b a deux racines


soit

conclusion
pour tous les couples (x,y) tels que


leurs images f(x) et f(y) sont égales.

[egan]

Je ne comprends pas cette étape: x et y peuvent être choisis arbitrairement si l'équation du second degré d'inconnues a,b a deux racines
Normalement, on devrait avoir y^2>4x.

J'ai trouvé un autre truc de mon côté: f ne peut pas être une bijection sinon ab=a+b
a=b/(b-1) pour tous réels a et b (b différent de 1) ce qui n'est pas possible.

[Geek-R]

Elle existe avec a=b=2







Df={2}