Cercle trigonométrique première

[Millie30]

Bonjour, voici l'énoncé:
(O; i; j ) est un repère orthonormé direct, C est le cercle de centre O et de rayon 2, A le point de coordonnées (2;0) et B le point de C tel que (i;OB) = 3π/4.
On note I le milieu du segment [AB].
1. Démontrer que I a pour coordonnées (2-√2/2 ; √2/2)
2.a) Démontrez que I est un point du cercle de centre O et de rayon √(2-√2)
b) quelle est la mesure principale de (i; OI)?
c) Déduisez-en que I a aussi pour coordonnées:
( √(2-√2) cos 3π/8 ; √(2-√2) sin3π/8 )
3.a) Déduisez des questions précédentes les valeurs exactes de: cos3π/8 et sin 3π:/8.
b) Vérifiez que: cos3π/8 = √(2-√2)/2 et sin 3π:/8 = √(2+√2)/2

Pouvez vous m'aidez? De plus Le point I devrait faire partie du cercle C mais lorsque je trace le schéma ce n'est pas le cas.

[hdci]

Bonjour,

Que voulez-vous dire par :

De plus Le point I devrait faire partie du cercle C mais lorsque je trace le schéma ce n'est pas le cas.

A et B sont deux points du cercle, donc [AB] est un segment qui, par rapport au cercle est une... ?

Son milieu ne peut donc pas être sur le cercle ! (à moins que vous ne confondiez "disque" et "cercle" ?)

Pour trouver les coordonnées du milieu d'un segment, comment procède-t-on ?

De quelles autres aides avez-vous besoin ?

[Millie30]

[AB] est la corde du cercle.
Voici ce que j'ai fait pour la question 1:
En prenant en compte que le cercle a un rayon de 2 je trace un triangle rectangle isocèle dans le cercle. j'utilise alors Pythagore:
r^2= x^2+y^2
2^2= 2x^2
4=2x^2
x= √4/2= √2 et puisque le triangle est isocèle y= √2
je peut alors dire que les coordonnées de B sont(- √2; √2)
Puis j'utilise les formules:
xi=xa-xb/2 et yi=ya-yb/2
La méthode est elle bonne?

[Black Jack]

Bonjour,

L'énoncé mentionne 2 cercles différents.

I ne doit pas être sur le cercle noté C (qui a un rayon = 2), mais bien sur un cercle de centre O et de rayon V(2-V2)

Et c'est bien le cas.

Il faut aussi utiliser les parenthèses quand c'est nécessaire ... et tu ne sais pas la faire.
Il faut corriger ta question 1 par :

1. Démontrer que I a pour coordonnées ((2-√2)/2 ; √2/2), c'est fondamentalement différent de ce que tu as écrit.

[Black Jack]

[AB] est la corde du cercle.
Voici ce que j'ai fait pour la question 1:
En prenant en compte que le cercle a un rayon de 2 je trace un triangle rectangle isocèle dans le cercle. j'utilise alors Pythagore:
r^2= x^2+y^2
2^2= 2x^2
4=2x^2
x= √4/2= √2 et puisque le triangle est isocèle y= √2
je peut alors dire que les coordonnées de B sont(- √2; √2)
Puis j'utilise les formules:
xi=xa-xb/2 et yi=ya-yb/2
La méthode est elle bonne?

Même remarque que dans mon message précédent pour les parenthèses et aussi d'autres erreurs.

Ce que j'ai mis en rouge est faux, il FAUT écrire : xi=(xa+xb)/2 et yi=(ya+yb)/2

[Millie30]

D'accord et le reste est il correct?

[hdci]

Puis j'utilise les formules:
xi=xa-xb/2 et yi=ya-yb/2

Hormis les parenthèses qui ne sont pas placées, comme le fait remarquer Black Jack, la formule est fausse.

Si je vous demande d'exprimer, sans utiliser de formule algébrique (donc en français), comment on obtient les coordonnées d'un milieu, que pouvez-vous répondre ?
(Indication : vous avez deux notes sur 20 en maths, comment faites-vous pour trouver "la note du milieu"... ?)

[Millie30]

a oui c'est xi=(xa+xb)/2 et yi=(ya+yb)/2

[hdci]

Oui c'est cela.

[Millie30]

Est-ce que vous pourriez me donner une piste pour la suite?

[hdci]

Vous avez donc répondu aux questions 1 et 2-a.
Pour la 2-b : avez-vous fait une figure ? L'angle peut s'exprimer en fonction d'autres angles connu (piste : il y a une question d'angles supplémentaires et de somme des angles dans un triangle)

[Millie30]

Ais-je vraiment répondu a la 2.a?

[hdci]

Presque en fait. Vous avez les coordonnées de I. Et vous ne sauriez pas démontrer que I est un point de centre O et de rayon donné dans l'énoncé ? Là vous devez faire l'effort de réfléchir un peu, car ce n'est pas du programme de première, mais de seconde.

[Millie30]

Si I fait partie du cercle alors (cosa)^2+(sin)^2 doit être égal au rayon au carré donc à( √(2-√2) )^2= √(2-√2)
Or (2-√2/2)^2+(√2/2)^2= √(2-√2) donc I fait partie du cercle

[hdci]

Si I fait partie du cercle alors (cosa)^2+(sin)^2 doit être égal au rayon au carré

Il doit manquer "a" dans le sinus. Mais qe signifie cette formule ? Qu'et-ce que cos(a) et sin(a) ? Et ceci n'est pas égal à un rayon quelconque, mais à un rayon égal à 1.

Second point : où sont les parenthèses ? Et n'oubliez-vous pas quelque chose dans le membre de droite ? Car ce que vous avez écrit, formellement, c'est cela



Et ceci est particulièrement faux (sans développer, juste à la calculatrice, à gauche cela fait environ 2,17, et à droite cela fait environ 0,77).

Mais en rajoutant les parenthèses correctement, et on ajoutant un certain exposant à droite (ou en retirant un certain radical ce qui revient au même), ce que vous écrivez est le calcul de la distance de I à O. Et justement, un cercle de centre O et de rayon r est exactement l'ensemble des points M tels que...

[Millie30]

OM= r

[Millie30]

Donc ce serais plutôt :
((2-√2)/2)^2+(√2/2)^2= (√(2-√2))^2

[hdci]

Donc pour que I appartienne au cercle de centre O et de rayon , il faut et il suffit que

C'est ce que vous avez "essayé" de calculer précédemment, mais en écrivant un calcul "faux" par erreur d'écriture (vous avez "le bon raisonnement", mais vous l'écrivez avec beaucoup de fautes : de rigueur ou d'inattention)

Passez donc maintenant à la question b

[Millie30]

Donc OI= √(2-√2)
Pour la 2.b) π=>180° et3π/4=> AOB° donc l'angle AOB=( 3π/4×180)/π= 135°
Or on sait que le triangle AOB est isocèle car AO=OB=2 et que I est le milieu de [AB] donc OI coupe l'angle AOB en deux donc (i; OI)= 135/2=67,5°

[hdci]

... Sauf que...
L'énoncé donne l'angle AOB en radian. Vous devez donc rester en radian.

D'ailleurs, passer en degré ne fait qu'ajouter des calculs. Tout ce que vous écrivez est correct : il faut toutefois préciser que dans un triangle isocèle, les médiane, hauteur et bissectrice issues dont égales, ce qui fait que (OI) étant la médiane (car I est le milieu du côté opposé au sommet O), c'est la bissectrice de l'angle en O.

Du coup de 3pi sur 4, on aboutit directement et sans calcul à...