Cercle des 9 points d'un triangle

[midzou]

Bonjour,
Je n'arrive pas à comprendre pourquoi le milieu de [BD] appartient au cercle(question 7). Merci de votre aide. voici le texte du probleme

Exercice 3 : Cercle des 9 points d’un triangle

Soit un triangle quelconque ABC et A’, B’, C’ les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB].
1. Tracer la hauteur issue de A, notée [AH].
2. Quelle est la nature du quadrilatère A’HB’C’ ?
3. Tracer le cercle C circonscrit au triangle A’B’C’.
4. Montrer que les points A’, H, B’, C’ sont sur le cercle C.
5. Tracer les deux autres hauteurs [BI] et [CJ] du triangle ABC. Démontrer que I et J sont sur le cercle C.
6. Présenter les résultats précédents sous forme de théorème.
7. Soit D l’orthocentre du triangle ABC. Quelles sont les hauteurs du triangle BCD ? Que remarque-t-on ? Que peut-on dire du milieu de [BD] ?
8. Soient les triangles BAD et ADC. Que peut-on dire des milieux de [AD] et de [CD] ?
9. Justifier le titre « cercle des 9 points d’un triangle ». Ce cercle est aussi appelé cercle d’Euler .

[c pi]

Bonjour

Peut-être qu'un coup d'oeil de ce côté-là te donnera une piste... Notamment ce passage-ci :

Comme cette même homothétie transforme chaque hauteur de ABC en l'une de ses médiatrices, on a également que les pieds des hauteurs de ABC sont sur le cercle d'Euler et que chacun des milieux des segment [AH], [BH] et [CH] sont également sur le cercle d'Euler.

[midzou]

Merci pour le lien mais ça ne répond pas à ma question...

[c pi]

J'ai précisé ma réponse précédente. :zen:

[midzou]

j'ai lu ce que tu as précisé. Mais le problème c'est que je n'ai pas utilisé d'homothétie pour prouver que les pieds des hauteurs appartiennent au cercle
Je ne vois pas pourquoi il faudrait introduire cette notion pour prouver que le milieu de [BD] est sur le cercle.

[c pi]

Je ne vois pas pourquoi il faudrait introduire cette notion

Ce serait pourtant bien pratique...
Et cette notion est utilisée par ailleurs :

w est centre du cercle circonscrit au triangle formé par les milieux des côtés de ABC, il est donc l'image du cercle circonscrit à ABC dans l'homothétie de centre G (centre de gravité de ABC) et de rapport -1/2.

[Imod]

Il me semble qu'il suffit d'appliquer le théorème formulé en 6 au triangle BCD , non ?

Imod

[c pi]

Cela me semble être effectivement dans la logique du problème,
que - je l'avoue honteusement :bad: - je n'avais pas lu dans son ensemble.

[midzou]

Eh bien, je ne dois pas avoir trouve le bon theoreme alors...
J'ai trouve come theoreme: Dans un triangle, les pieds des hauteurs appartiennent au cercle circonscrit au triangle forme par les milieux.
Je ne peux pas l'appliquer au triangle BCD???

[Imod]

J'ai trouve comme theoreme: Dans un triangle, les pieds des hauteurs appartiennent au cercle circonscrit au triangle forme par les milieux.
Je ne peux pas l'appliquer au triangle BCD???

Tu peux aussi le formuler de la façon suivante : dans un triangle , les pieds des hauteurs et les milieux des côtés sont sur un même cercle ( ce qui devrait débloquer ton problème ) .

Imod

[midzou]

Merci beaucoup pour votre aide. Mais une question me vient à l'esprit: est-il posible qu'il y est 2 cercles qui comportent 3 points differents?

[Imod]

Merci beaucoup pour votre aide. Mais une question me vient à l'esprit: est-il posible qu'il y est 2 cercles qui comportent 3 points differents?

Je suppose que tu veux dire deux cercles différents passant par les trois mêmes points . Non c'est impossible , il suffit de se souvenir de la construction du cercle circonscrit , son centre est le point d'intersection O des médiatrices et son rayon est donné par la distance de O à l'un des points du triangle .

Imod