Cercle circonscrit et hortocentre

[harrira]

bonjour à tous,
je tiens avant tout à remercier toutes les personnes qui donnent de leur temps et energie pour aider les autres.

en ce debut d'année, j'ai un peit souci avec une demonstration. je remercie par avance toute personne qui m'aidera à la solutionner et si possible à la comprendre.

mon exercice est :

A, B, C est un tiangle rectangle. I, J, K sont les milieux de [BC], [AC] et [AB].

demontrer que le cercle circonscrit à ABC est l'hortocentre de IJK?


encore merci et bonne journee

[yvelines78]

bonjour,

je suppose le triangle ABC rect en A

J milieu de [AC] et I milieu de [BC]--->(JI)//(AB) et JI=AB/2
(JI)//(AB) et (AB) perpen (AC)---->(JI) perpen (AC) --->(JI) médiatrice
K milieu de [AB] et I milieu de [BC]--->(KI)//(AC) et KI=AC/2
(KI)//(AC) et (AB) perpen (AC)---->(KI) perpen (AB) --->(KI) médiatrice
point de concours des médiatrices=centre du cercle circonscrit=I

--->(JI) perpen (KI), le triangle IJK est rect en I (//èlisme)
(Ji) et (KI) hauteurs du triangle, elles sont concourantes en I qui est donc l'orthocentre de IJK

[harrira]

bonsoir et merci à toi pour ta reponse et ta disponibilité.
bonne soiree

[harrira]

bonjour à tous,

j'aimerai juste savoir ce qui changerait comme raisonnement si le triangle etait quelconque s'il vous plait?

merci d'avance
bonne journee

[annick]

Bonjour,

Si je ne me trompe pas ce serait aussi l'orthocentre de IJK car le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point de concours des médiatrices des 3 côtés du triangle.

Si tu fais une figure en appelant H le point de concours de tes médiatrices, tu vois que (IJ) parallèle à (BC) (Théorème de la droite des milieux)
(KH) perpendiculaire à (BC), Donc (KH) perpendiculaire à (IJ)
De même pour les autres et H est bien le point de concours des hauteurs de IJK

[harrira]

je te remercie infinement