Centre de gravité G d'un demi cercle

[Dinozzo13]

Bonjour, suite à une idée que j'ai eue, j'aimerai savoir comment déterminer les coordonnées du centre de gravité G d'un demi-cercle.

Pour cela, soit la fonction dont la courbe représentative dans un repère direct orthonormé est définie par :

Je conjecture tout de suite que dans admet pour axe de symétrie la droite d'équation

. :


donc
et
Par conséquent, admet bien la droite pour axe de symétrie.

Mon idée en fait est que si on considère G le centre de gravité de ce demi-cercle et l'aire définie par alors vérifie i.e. appartient à tq et

Donc déjà, , mais comment trouver son ordonnée ?

Je pense qu'il faudrait peut-être calculer la valeur moyenne de f sur [0;2], non ?

[windows7]

pour quel valeure de k dans [0,R] as tu integral de f(x)-a = 0 ?

[Dinozzo13]

:hum: je ne comprends pas trop ce que tu as mis mais je dirai quand k=1

[Nightmare]

Salut,

tu veux calculer le centre de gravité d'un demi-cercle ( un fil homogène) ou d'un du demi-disque de frontière ce demi-cercle (une plaque homogène) ?

[Dinozzo13]

salut Nightmare !
Le demi-disque d'une plaque homogène

[Arnaud-29-31]

Salut,

Pour trouver le centre de gravité d'une surface, tu peux commencer par calculer l'aire de la surface que tu note S et ensuite, l'abscisse du centre de gravité vaut et l'ordonnée vaut

[Dinozzo13]

Oui, mais sachant que se trouve (probablement) sur , je n'ai besoin que de trouver uniquement

[Nightmare]

Ici, je pense qu'il est beaucoup plus pratique d'écrire une équation paramétrique de ton demi-disque, ou mieux, une équation polaire ...

[ft73]

C'est un exercice classique de term S !
Le plus simple est ici effectivement d'intégrer suivant l'axe de symétrie.

où L(y) est la longueur de ta section horizontale d'altitude y.
(là je parle du demi-disque "trigo" supérieur)
L'intégrale est sans souci aucun, et la réponse finale est 4/(3*pi).

[beagle]

Olympus me fait parvenir la réponse suivante:
tout le monde connait le théorème de Guldin:
Théorème — La mesure du volume engendré par la révolution d'un élément de surface plane autour d'un axe situé dans son plan et ne le coupant pas est égale au produit de l'aire de la surface par la longueur de la circonférence décrite par son centre de gravité :


donc demi-disque de rayon R et centre gravité G:
V=(1/2piRcarré)x[2pi(rg)]
d'où rG=4R/3pi

source wiki
source renvoyant sur guldin: les forums du web

[Dinozzo13]

Ah ok, je viens de comprendre merci, après ce n'est que du calcul

[beagle]

Pour Olympus, s'il a vu mon message précédent maintenant supprimé,
c'était 10% de mise en boite, et 90% d'hommage à ses connaissances.

[vingtdieux]

Theorème de Guldin: je fais tourner le demi-cercle ce qui fait un volume de 4/3PiR^3
C'est égal a la surface qui a tounée multipliée par la trajectoire du centre de gravité. Donc a 1/2PiR^2*2Pix et celà donne x=R4/3Pi

[beagle]

Guldin:
"Théorème — La mesure du volume engendré par la révolution d'un élément de surface plane autour d'un axe situé dans son plan et ne le coupant pas est égale au produit de l'aire de la surface par la longueur de la circonférence décrite par son centre de gravité :


Exemples :

le volume engendré par un demi-disque de rayon R et de centre de gravité G est la boule de mesure V . "
source wiki, les formules ne passent pas.

Un demicercle, décrit le volume d'une boule.
Volume de la boule = surface du demi-cercle X circonférence cercle entier de centre gravité
donc:
1/2piRcarré x 2pi(Rg)
R:rayon demi-cercle
Rg:rayon cercle fait par G

donc si volume boule entière est 4/3piRcube
Rg=4R/3pi
ce qui est le résultat par intégrale de ft73,
ouf!