Cardinal, ensemble infini (question de cours!)

[Minineutron]

Bonsoir, je travaille en ce moment sur l'arithmétique, et j'essaye de comprendre mon cours .. voilà, il y a une phrase que j'avais notée sur mon cahier: Ensemble infini, cf.cardinal ... et c'est ce que j'ai trouvé comme lien, sur internet " Un ensemble E est infini si son cardinal n'est pas un cardinal fini, c'est-à-dire si E n'est équipotent à aucun segment [1,n] de N"

quelqu'un pourrait m'expliquer cette phrase ? Merci

[Nightmare]

Salut :happy3:

Un ensemble fini, c'est un ensemble qu'on peut compter ! La manière de compter forme une bijection de cet ensemble dans un ensemble du type {1,...,n} (à 1 on associe le premier nombre de l'ensemble, à 2 le deuxième nombre, etc...)

Etre en bijection, ça se dit aussi "être équipotent".

Ainsi, un ensemble fini, c'est un ensemble qui est équipotent à un sous-ensemble de N de la forme {1,...,n}
Un ensemble infini c'est un ensemble qui n'est justement équipotent à aucun {1,....,n}.

Exemple :
On prend l'ensemble {Maison, 8, 3x²}. Il a 3 éléments. Pour les dénombrer, on peut écrire :
Maison est le premier élément.
8 est le deuxième élément
3x² est le 3ème élément.

On crée donc une fonction qui :
a maison associe 1
a 8 associe 2
a 3x² associe 3.
C'est une bijection. L'ensemble est équipotent à {1,2,3}.

Compris?

[Minineutron]

oké! merci et bonne soirée ! :)

[Minineutron]

mais c'est quoi un cardinal ? (globalement), j'arrive pas à cerner ce mot

[Nightmare]

En gros, le cardinal d'un ensemble c'est le nombre de ses éléments si l'on veut... Tu vois que pour un ensemble infini, ça semble bizarre, mais tu verras par exemple que R "a plus d'éléments" que N (pourtant les deux ont une infinité d'éléments).

C'est un peu abstrait mais ça se comprend !

[Minineutron]

ok, je vois :)
merci ^^

[Nightmare]

Je t'en prie, bonne soirée :happy3:

[oscar]

bonsoir

Je note sur Google
Définition: le cardinal d' un ensemmble fini E désigne le nombre d' éléments de E
Exemple : E={1;2:5;10}: card (E) = 5
Le cardinal d' un ensemble vide est 0

A chaque ensemble X on associe un ensemble noté card(X) vérifiant les deux
conditions suivantes:
- pout tout ensemble X ,les ensembles X et card(X) sont équipotents
-pour tout couple d' ensemble équipotents (X;Y).on a card(x) = card (Y)

Si E est un ensemble infini, alors card(E) n' est pas un entier naturel.

[Minineutron]

j'ai encore d'autres questions.. en rapport avec les ensembles, et jpense pas qu'il soit nécessaire de créer un nouveau topic

pourquoi dans un ensemble A non vide, et inclus dans N, il y a toujours un plus petit élément (donc 0? si jcomprends bien) mais pas un qui n'est nécessairement plus grand?

[Nightmare]

Ca semble logique non? Tu prends un nombre quelconque (fini ou infini) d'entier, il y en aura toujours un plus petit non? (Ce n'est pas forcément 0 !).

Par contre, rien ne nous dit qu'on a toujours un plus grand ! C'est vrai si on en prend qu'un nombre fini, mais si on prend un nombre infini, ça devient faux. Par exemple si l'on prend tous les nombres pairs, il n'y en a pas un qui est plus grand que les autres ! Par contre il y en a un qui est plus petit que les autres : 0.

:happy3:

[Clembou]

Si on est dans les réels, on peut utiliser le théorème d'Archimède pour prouver qu'il existe un plus grand élément pour tout x dans R...

[Nightmare]

Si on est dans les réels, on peut utiliser le théorème d'Archimède pour prouver qu'il existe un plus grand élément pour tout x dans R...

Non! D'une part, une partie de R n'a pas forcément de plus grand élément. D'autre part, si tu voulais parlais de borne supérieure, alors c'est l'archimédianité qui découle de l'axiome de la borne supérieure et non l'inverse.

[Minineutron]

ah oui, en faite jmétais fait à l'idée que l'ensemble A était fini, alors j'avai pa trop compris pourquoi il n'y avait pas nécessairement un plus grand élément

merci

[Nightmare]

De rien :happy3: