Caractérisation vectorielle de l'orthocentre

[naruto]

Bonjour , je bloque sur un exercice d'un dm j'espèrte vivement que vous m'aiderez.
ABC est un triangle, O est le centre de son cercle circonscrit et G son centre de gravité A', B', C' désignenet les milieux respectifs de [BC], [CA] et [AB].

On note H le point définit par OH=OA+OB+OC (vecteur) [1]
(On doit prouver que H est orthocentre du triangle si j'ai bien compris )
1)a) Prouver que à partir de [1] que vecteur AH=2OA(vecteur)
b) Démontrer que (AH) est perpendiculaire à (BC)
2.Démontrer que (BH) est perpendiculaire à (AC).Concluer.

J'espère vivement que vous m'aideriez, une petite aide serait serait la bienvenue.

[rene38]

Bonjour
A' étant le milieu de [BC],
donc [1] s'écrit
Egalité de Chasles : donc


et donc et sont colinéaires et (AH)//(OA')
b) O et A' sont sur la médiatrice de [BC] donc
et comme (AH)//(OA'),

2. On recommence : , , ....

[naruto]

Merci. J'ai compris mais voila dans la suite du TD j'ai pas très bien compris 3 questions si vous pouvez m'aidez encore je vous en serez reconnaissant.


1)Prouvez que vecteur OH = 3vecteur OG [2]
2)Examinons la question de savoir si O,G,H peuvent être confondus. En utilisant [2] prouvez que si deux d’entres ces points le sont, alors le troisième est confondu avec eux. Déduisez-en que ABC est équilatéral.
3)Réciproquement si ABC est equilateral vérifiez que O G H est confondus.
4)Que dire des points distincnts O G H lorsque ABC est non équilatéral.

Le 1) je l'ai fait.
Le 2 je sais que ca se base sur la relation OH=3 vecteur OG, parce que si O et H sont confondus alors o et g sont confondus donc o,h et g sont confondus mais bon je ne sais pas trop bien expliqués.