Calculer une limite

[alkhawarizmi00]

salut

je suis super coincé avec la limite de : la valeur absolue de (1+1/x)^x en + et - infini :mur:

aidez moi svp

[mathelot]

la limite de : la valeur absolue de f(x)=(1+1/x)^x en + et - infini :mur:

bonsoir,
prendre le log des deux membres, écrire un développement limité (DL)

[alkhawarizmi00]

est-ce que vous pouvez détailler un peu plus svp

[alkhawarizmi00]

ok , merci !!

[mathelot]

qd x tend vers


tend vers e quand x tend vers

[Black Jack]

Ou par la règle du génial Marquis.

f(x) = (1 + 1/x)^x

ln(f(x)) = x.ln(1 + 1/x)

lim(x--> +oo) [x.ln(1 + 1/x)] = lim(x--> +oo) [ln(1 + 1/x)/(1/x)] est une indétermination du type 0/0 --> Règle du génial Marquis de Lhospital

lim(x--> +oo) [x.ln(1 + 1/x)] = lim(x--> +oo) [((-1/x²)/(1 + 1/x))/(-1/x²)] = lim(x--> +oo) [1/(1 + 1/x)] = 1

lim(x--> +oo) [ln(f(x))] = 1 ---> lim(x--> +oo) [f(x)] = e^1 = e

lim(x--> +oo) [(1 + 1/x)^x] = e

*****
Méthode analogue pour lim(x -> -oo) ...

On trouve pareillement : lim(x--> -oo) [(1 + 1/x)^x] = e
*****
Méthode (Lhospital) souvent mal appréciée par les Matheux ... probablement trop facile pour paraître... et donc trop souvent non enseignée

:zen: