Calculer si une forme est dans une autres ?

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Gromak123
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Calculer si une forme est dans une autres ?

par Gromak123 » 09 Aoû 2013, 19:35

Bonjour a tous? je flanche depuis un petit moment sur quelque chose qui est certainement tout bête mais dont la solutions de me vient pas :"/ ?

je voudrait pouvoir vérifier par le calcul (et non graphiquement) qu'une forme est bien a l'intérieur d'une autre.

Concrètement j'ai les coordonnées d'un triangle quelconque (ABC) avec A(8;8) B(9;8) et C(8;9) et d'un second triangle quelconque (DEF) avec D(8;5) E(13;6) et F(6;11) , Graphiquement je voit bien que ABC est a l'intérieur de DEF mais je voudrait savoir trouver cette réponse par le calcule. *

j"ai besoin de savoir faire ce calcul car je code un jeux PC copier de ce jeux web : http://arkadeo.com/game/play/10/Trigo
Qui consiste donc a gagner des point en mettant des triangle dans des triangles.

Si quelqu'un trouve je l'en remercie ^^ !

Bonne journée !



Dlzlogic
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par Dlzlogic » 09 Aoû 2013, 20:46

Bonjour,
Avec le hypothèses donnée, ça me parait assez simple.
Le triangle ABC est à l'intérieur du triangle DEF, si et seulement si tous les points de ABC sont intérieurs à DEF, en particulier les 3 sommets.
Donc il faut adopter un sens conventionnel pour DEF, et tester si chaque point A,B,C est du "bon" côté par rapport à DE, Ef et FD. Le produit vectoriel fait ça très bien.
PV = (dX1 * dY2) - (dX2 * dY1). Et on teste son signe.

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leon1789
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par leon1789 » 09 Aoû 2013, 21:56

:doh: j'ai pas tout compris : je croyais que le produit vectoriel était une opération vectorielle en dimension 3, et je ne savais pas que le produit vectoriel avait un signe.



@Gromak123
Comme l'a dit Dlzlogic, un triangle (EDF en l'occurrence) est convexe, il suffit effectivement de vérifier que les sommets A, B, C, sont à l'intérieur de EDF, et tester si chaque point A,B,C est du "bon" côté par rapport aux droites (DE), (EF) et (FD).

Prenons le point A :
personnellement, je calculerai les coordonnées de A dans le repère barycentrique E,D,F (supposés non alignés). Alors A est à l'intérieur du triangle E,D,F si et seulement si toutes ses coordonnées sont positives.

Comment calculer les coordonnées barycentriques de A ? Voici les formules







où les x et y sont les coordonnées cartésiennes des points.

A est à l'intérieur de E,D,F si et seulement si sont positifs.

On remarque que les coordonnées sont données par des équations des droites (EF), (FD) et (DE) "évaluées" au point A : cela fait le lien avec l'idée de Dlzlogic.

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leon1789
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par leon1789 » 09 Aoû 2013, 22:22

:doh: j'ai pas tout compris : je croyais que le produit vectoriel était une opération vectorielle en dimension 3, et je ne savais pas que le produit vectoriel avait un signe.



@Gromak123
Comme l'a dit Dlzlogic, un triangle (EDF en l'occurrence) est convexe, il suffit effectivement de vérifier que les sommets A, B, C, sont à l'intérieur de EDF, et tester si chaque point A,B,C est du "bon" côté par rapport aux droites (DE), (EF) et (FD).

Prenons le point A :
personnellement, je calculerais les coordonnées de A dans le repère barycentrique E,D,F (supposés non alignés). Alors A est à l'intérieur du triangle E,D,F si et seulement si toutes ses coordonnées sont positives.

Comment calculer les coordonnées barycentriques de A ? Voici les formules









où les x et y sont les coordonnées cartésiennes des points.

A est à l'intérieur de E,D,F si et seulement si sont positifs.

On remarque que les coordonnées sont données par des équations des droites (EF), (FD) et (DE) "évaluées" au point A : cela fait le lien avec l'idée de Dlzlogic. Mais on constate qu'il n'y a pas de sens conventionnel à adopter.

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leon1789
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par leon1789 » 09 Aoû 2013, 22:28

:doh: j'ai pas tout compris : je croyais que le produit vectoriel était une opération vectorielle en dimension 3, et je ne savais pas que le produit vectoriel avait un signe.



@Gromak123
Comme l'a dit Dlzlogic, un triangle (EDF en l'occurrence) est convexe, il suffit effectivement de vérifier que les sommets A, B, C, sont à l'intérieur de EDF, et tester si chaque point A,B,C est du "bon" côté par rapport aux droites (DE), (EF) et (FD).

Prenons le point A :
personnellement, je calculerais les coordonnées de A dans le repère barycentrique E,D,F (supposés non alignés). Alors A est à l'intérieur du triangle EDF si et seulement si toutes ses coordonnées sont positives.

Comment calculer les coordonnées barycentriques de A ? Voici les formules









où les x et y sont les coordonnées cartésiennes des points.

A est à l'intérieur du triangle EDF si et seulement si sont tous les trois positifs.



EDIT : la valeur de Z n'est pas nulle car les points E,D,F ne sont pas alignés. Donc la division par Z est bien assurée.

On remarque que les coordonnées sont données par des équations des droites (EF), (FD) et (DE) "évaluées" au point A : cela fait le lien avec l'idée de Dlzlogic. Mais il n'y a pas de "sens conventionnel" à adopter.

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 09 Aoû 2013, 22:59

Bonsoir,
Léon est revenu de congé, Youpi.
Il est vrai que le produit vectoriel donne un résultat en 3D, mais c'est aussi l'expression d'une aire.
@ Léon,
Cette méthode est utilisée depuis belle lurette, il serait bon que tu précises si tes interventions n'ont pour but que de me contrer ou pour servir (éventuellement - mais j'en suis pas sûr) à faire avancer les choses.
Petite question : as-tu déjà écrit un module qui résout ce problème ?
Petit complément, l'utilisation "d'équation de droite" est rare, au moins à ma connaissance, dans ce type de contexte.
Pour ton information, j'ai une fonction qui calcule le produit vectoriel, dans le seul but de savoir su un point est à droite ou à gauche d'un segment oriente, seuls le signe est testé.
Je suis sûr que ton intervention est inutile.

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leon1789
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par leon1789 » 09 Aoû 2013, 23:27

Dlzlogic a écrit:Bonsoir,
Léon est revenu de congé, Youpi.

:we:

Dlzlogic a écrit:@ Léon,
Cette méthode est utilisée depuis belle lurette, il serait bon que tu précises si tes interventions n'ont pour but que de me contrer ou pour servir (éventuellement - mais j'en suis pas sûr) à faire avancer les choses.

Ben je pense que les choses ont maintenant bien avancé puisque j'ai donné explicitement des formules répondant à la question de Gromak123 dans le cadre général. Pour le reste, chacun verra ce qu'il veut.

Dlzlogic a écrit:Petite question : as-tu déjà écrit un module qui résout ce problème ?

je ne vois pas le rapport avec notre contexte... mais à ton avis, comment ai-je obtenu ces formules ? Je n'ai pas fait les calculs à la main.

Dlzlogic a écrit:Petit complément, l'utilisation "d'équation de droite" est rare, au moins à ma connaissance, dans ce type de contexte.

ben il faut savoir que le signe de précise la position du point par rapport à la droite d'équation . Autrement dit, le signe de la fonction partage le plan en 3 lieux : deux demi-plans ouverts (images réciproques des intervalles et ) et une droite (image réciproque du singleton {0}).

Dlzlogic a écrit:Pour ton information, j'ai une fonction qui calcule le produit vectoriel, dans le seul but de savoir su un point est à droite ou à gauche d'un segment oriente, seuls le signe est testé.

J'aimerais bien que tu nous montres cela car c'est pas clair de tester le signe d'un produit vectoriel, vu qu'un produit vectoriel est un vecteur. Tu parles peut-être d'une seules des trois coordonnées du vecteur ?

Dlzlogic a écrit:Je suis sûr que ton intervention est inutile.

Elle est inutile pour toi, oui, sans aucun doute.
Mais j'espère bien que Gromak123 y trouvera son compte (et qu'il évitera de parler du signe d'un produit vectoriel, par exemple).

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 09 Aoû 2013, 23:54

Juste une réponse technique et précise.
Le produit vectoriel s'écrit :
PV=(X1*Y2) - (X2*Y1)
A l'évidence cette valeur peut être positive ou négative.
Par ailleurs, c'est la formule de base pour calculer une aire.
Concernant les quolibets, contre toi, je ne peux rien, mais mathématiquement, au moins sur ce point, je n'ai rien à craindre.
Par ailleurs, vu que les congés ne semblent pas avoir tellement profité à Léon, je demande à la modération d'essayer de le calmer.
Ce forum est là pour essayer d'aider les demandeurs pas d'autre-chose.

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leon1789
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par leon1789 » 10 Aoû 2013, 00:12

Dlzlogic a écrit:Juste une réponse technique et précise.
Le produit vectoriel s'écrit :
PV=(X1*Y2) - (X2*Y1)

:hum:

@ Gromak123
Communément, X1*Y2 - X2*Y1 est appelé le déterminant des vecteurs (X1, Y1) et (X2, Y2) , et non le produit vectoriel. C'est un contre-sens qu'il est impératif d'éviter !
Voir par exemple ces documents :
http://promenadesmaths.free.fr/produitvectoriel.htm
http://alg-geo.epfl.ch/cours/alglin0910/PolycopAlgLin0910.pdf
Il y en a plein d'autres sur le web...


Dlzlogic a écrit:Concernant les quolibets, contre toi, je ne peux rien, mais mathématiquement, au moins sur ce point, je n'ai rien à craindre.

:ptdr:
Où as-tu vu que le produit vectoriel s'écrit PV=(X1*Y2) - (X2*Y1) ?


Dlzlogic a écrit:Ce forum est là pour essayer d'aider les demandeurs pas d'autre-chose.

Très juste !
Désolé de rentrer de vacances et de constater que Dlzlogic continue et persiste à écrire des contre-sens face à des personnes en demande d'aide...

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 10 Aoû 2013, 00:34

@ Léon,
Tu sais, depuis une bonne vingtaine d'années que j'utilise cette méthode pour savoir si un point est droite ou à gauche d'un segment orienté, si c'était pas bon, je crois que je m'en serais aperçu.
Révise tes connaissances avant d'affirmer n'importe quoi.

Sylviel
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par Sylviel » 10 Aoû 2013, 00:48

Encore un conflit Léon-Dlzlogic...

en attendant une décision collégiale de la modération pour régler une bonne fois pour toute ce genre de discussion je vous demande d'arrêter les échanges ici.


En tant que mathématicien je peux assurer que le produit vectoriel de deux vecteurs de l'espace (R^3) est bien un vecteur et donc parler de son signe n'a pas de sens. La formule donnée correspond au déterminant des deux vecteurs. Je ne suis pas certain que l'on puisse définir un produit vectoriel dans le plan. Dans le cas contraire je veux bien une référence.

Une simple recherche sur google, ou dans n'importe quel cours de sup, voir même de SI de terminal, confirmera ce fait. Exemple de cours :
http://www.math93.com/gestclasse/classes/IPSA/cours-ps_pv_light.pdf
http://gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/Lycee_fichiers/CoursT_fichiers/PSPV.pdf
la page wikipédia sur le sujet est intéressante aussi.

Bref, pour l'image de maths forum il faudrait mieux que Dlzlogic évite d'affirmer péremptoirement des choses allant à l'encontre de ce qui est enseigné dans toutes les L1 de France...
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 10 Aoû 2013, 01:46

Bon, je vais essayer de répondre.
Soit un triangle, l'aire est égale à 1/2 (x2-x1) * (y3-y1) - (y2-y1) * (x3-x1)
ref P. Thuillier vol 3 page 83.
Naturellement cette référence est un peu superflue, tellement la formule est évidente.
Pour précision supplémentaire, les cordonnées avec les indices correspondent aux numéros d'ordre des points des sommets.
Dans le cas de l'aire d'un triangle, la convention veut qu'elle soit positive par définition. Il en résulte que la formule, pour un triangle, comporte aussi une valeur absolue.
Lorsqu'on calcule l'aire d'un polygone c'est cette formule qui est utilisé, la valeur absolue n'est mise que pour le résultat final.
Ces détails explicatifs ne sont utile que pour le calcul d'aire de polygones, transparent pour la plupart des utilisateurs d'outils informatiques, mais indispensables à connaitre pour un auteur de logiciels.

Concernant la position d'un point par rapport à un segment orienté, la formule que j'ai indiquée est celle qui est utilisée normalement.
Petit détail important, elle ne comporte que des multiplication (cad pas de division), donc aucun test n'est nécessaire.
J'avoue que je suis un peu surpris des diverses réactions.
Il me semble qu'il y a 2 possibilités, l'un de nous, Léon ou moi dit n'importe quoi, on le prouve (autrement que par des références à Wiki).
Ce n'est pas parce que la formule que j'ai indiquée est aussi le déterminant de deux vecteurs que ce n'est pas le produit vecturiel, et surtout le moyen de déterminer de la façon la plus efficace la position d'un point par rapport à un segment orienté, ce qui est la question posé.
Petite info supplémentaire, le produit scalaire est utilisé pour savoir si un point est intérieur ou non de la bande qui admet un segment pour distance aux deux limites.
Ces notions constituent le B-A-BA du traitement informatique graphique.

Sylviel
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par Sylviel » 10 Aoû 2013, 02:16

De ce que j'ai vu il n'y a pas d'incompatibilité sur les formules (je ne suis pas allé vérifier les détails, mais je n'ai pas vu Léon infirmer tes formules) en revanche il y a un terme qui n'est pas utilisé comme le reste de la planète l'utilise. Si Léon affirme que tes formules ne permettent pas de trouver la position je veux bien que tu me montres où... Ta référence n'est pas sur ce qui a été remis en question. Donc à part un avis préformé tu ne t'es pas donné la peine ni d'aller voir le lien de wikipédia, ni les divers résumé de cours qui disent tous la même chose...

A partir du déterminant tu obtiens le sinus de l'angle entre les deux vecteurs, et donc effectivement la position d'un point par rapport a une droite sans trop de difficulté.

P.S : la formule de l'aire telle quelle du triangle est fausse (outre que x1, y1, x2, y2 ne sont pas définie)...
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

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leon1789
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par leon1789 » 10 Aoû 2013, 04:55

Dlzlogic a écrit:Je suis sûr que ton intervention est inutile.
(...)
Concernant les quolibets, contre toi, je ne peux rien, mais mathématiquement, au moins sur ce point, je n'ai rien à craindre.
(...)
Révise tes connaissances avant d'affirmer n'importe quoi.
(...)
Ce n'est pas parce que la formule que j'ai indiquée est aussi le déterminant de deux vecteurs que ce n'est pas le produit vecturiel, et surtout le moyen de déterminer de la façon la plus efficace la position d'un point par rapport à un segment orienté, ce qui est la question posé.

De la part de quelqu'un qui s'enferme dans la confusion entre produit vectoriel et déterminant (bien qu'on lui donne des références), tes remarques sont très déplacées. :hum:

Dlzlogic a écrit:J'avoue que je suis un peu surpris des diverses réactions.
Il me semble qu'il y a 2 possibilités, l'un de nous, Léon ou moi dit n'importe quoi, on le prouve (autrement que par des références à Wiki).

Ce qui est surprenant, c'est ta réaction négationniste et d'opposition extrême. En plus, c'est marrant, car les formules que j'ai données et celles qu'évoque Dlzlogic aboutissent au même calcul... En effet, en reprenant mes notations, en "factorisant" un peu, on obtient :









où Z est toujours la même quantité, constante (qui ne dépend pas du point testé).
Ainsi, on peut conclure que le point A appartient au triangle EDF si et seulement si le numérateurs







sont de même signe (celui de Z, ce qui évite de faire une division par Z...).




Précisons encore une fois que est l'évaluation au point de
ou encore

expressions rappelant clairement une équation cartésienne de la droite (EF) ;

idem pour , le point B et la droite (FD) ;
idem pour , le point C et la droite (DE).



Pour finir, une petite référence sur wikipédia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonn%C3%A9es_barycentriques#Dans_le_plan
(coordonnées barycentriques, aires de triangles, etc).

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leon1789
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par leon1789 » 10 Aoû 2013, 05:37

Dlzlogic a écrit:Je suis sûr que ton intervention est inutile.
(...)
Concernant les quolibets, contre toi, je ne peux rien, mais mathématiquement, au moins sur ce point, je n'ai rien à craindre.
(...)
Révise tes connaissances avant d'affirmer n'importe quoi.
(...)
Ce n'est pas parce que la formule que j'ai indiquée est aussi le déterminant de deux vecteurs que ce n'est pas le produit vecturiel, et surtout le moyen de déterminer de la façon la plus efficace la position d'un point par rapport à un segment orienté, ce qui est la question posé.

De la part de quelqu'un qui s'enferme dans la confusion entre produit vectoriel et déterminant (bien qu'on lui donne des références), tes remarques sont très déplacées. :hum:

Dlzlogic a écrit:J'avoue que je suis un peu surpris des diverses réactions.
Il me semble qu'il y a 2 possibilités, l'un de nous, Léon ou moi dit n'importe quoi, on le prouve (autrement que par des références à Wiki).

Ce qui est surprenant, c'est ta réaction négationniste et d'opposition extrême. En plus, c'est marrant, car les formules que j'ai données et celles qu'évoque Dlzlogic aboutissent au même calcul... En effet, en reprenant mes notations, en "factorisant" un peu, on obtient :









où Z est toujours la même quantité, constante (qui ne dépend pas du point testé).
Ainsi, on peut conclure que le point A appartient au triangle EDF si et seulement si les numérateurs







sont de même signe (celui de Z car , ce qui évite de faire le calcul de Z et une division...).




Précisons encore une fois que est l'évaluation au point de
ou encore

expressions rappelant clairement une équation cartésienne de la droite (EF) ;

idem pour , le point B et la droite (FD) ;
idem pour , le point C et la droite (DE).



Pour finir, une petite référence sur wikipédia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonn%C3%A9es_barycentriques#Dans_le_plan
(coordonnées barycentriques, aires de triangles, etc).

L.A.
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par L.A. » 10 Aoû 2013, 11:38

Bonjour.

Pour apporter un peu d'eau au moulin (ou de l'huile sur le feu, cela dépend...)

On peut définir un "produit vectoriel" sur R^2 en voyant cet espace comme R^2x{0} plongé dans R^3 (muni de la structure euclidienne canonique). Le résultat est un scalaire (ou peut être identifié à un scalaire) puisque le produit vectoriel classique de deux vecteurs de R^2x{0} est un vecteur de la forme (0,0,z).

Moi aussi ça m'avait paru très étrange la première fois que je l'ai lu, mais vu sous cet angle vous parlez bien tous les deux de la même chose...

Tom_Pascal
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par Tom_Pascal » 10 Aoû 2013, 12:34

Bonjour,

En gros, vous vous prenez la tête pour une histoire de vocabulaire...

On peut définir un "produit vectoriel" sur R^2 en voyant cet espace comme R^2x{0} plongé dans R^3 (muni de la structure euclidienne canonique). Le résultat est un scalaire (ou peut être identifié à un scalaire) puisque le produit vectoriel classique de deux vecteurs de R^2x{0} est un vecteur de la forme (0,0,z).


Je ne l'ai jamais rencontré, mais je veux bien croire que cela existe.

Autrement, comme cela a été précisé, on appelle tout simplement cette notion le "déterminant". Comme ça c'est compris par tous.

Quoiqu'il en soit, je pense que Gromak123 a reçu les informations et formules qui lui sont nécessaires pour mener à bien son projet, c'est le but partagé par tous les intervenants ic, non ?
Qu'il y a ait discussion ensuite entre "aideurs" autour du vocabulaire employé (je pense que c'était tout de même important d'attirer l'attention du lecteur que de parler de "signe du produit vectoriel" est pour le moins étrange et à prendre avec précaution), OK.... mais pas la peine d'à nouveau se déchirer et d'être désagréable les uns envers les autres pour défendre son point de vue ou le vocabulaire qu'on a chacun apprit à utiliser pour manipuler ces notions... (surtout que tout le monde s'entend sur la manière de faire au final)


Merci.

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leon1789
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par leon1789 » 10 Aoû 2013, 13:36

leon1789 a écrit:J'aimerais bien que tu nous montres cela car c'est pas clair de tester le signe d'un produit vectoriel, vu qu'un produit vectoriel est un vecteur. Tu parles peut-être d'une seules des trois coordonnées du vecteur ?

L.A. a écrit:On peut définir un "produit vectoriel" sur R^2 en voyant cet espace comme R^2x{0} plongé dans R^3 (muni de la structure euclidienne canonique). Le résultat est un scalaire (ou peut être identifié à un scalaire) puisque le produit vectoriel classique de deux vecteurs de R^2x{0} est un vecteur de la forme (0,0,z).

Moi aussi ça m'avait paru très étrange la première fois que je l'ai lu, mais vu sous cet angle vous parlez bien tous les deux de la même chose...

Première chose : ta réponse est d'une autre teneur que celles balancées par qui on sait. Une réponse comme la tienne n'attise pas les retours cinglants.

Par ailleurs, je ne vois pas ce qu'il y a d'étrange : tu parles bien d'une seule coordonnée (qui est z) du produit vectoriel classique, cette coordonnée étant un déterminant classique. Il faut simplement être clair sur les définitions.

Enfin, si on place le problème en dimension 3 (ou davantage) en cherchant à tester si un parallélépipède en contient un autre, alors le calcul des coordonnées barycentriques se fera de même manière : résolution d'un système linéaire, formules de Cramer, déterminants (que l'on peut interpréter en calcul de volumes). Je ne vois pas d'utilisation réelle du produit vectoriel.

EDIT : on pourrait même dire qu'un produit vectoriel est un déterminant !

est la base canonique de R^3 .

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leon1789
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par leon1789 » 10 Aoû 2013, 13:48

leon1789 a écrit:J'aimerais bien que tu nous montres cela car c'est pas clair de tester le signe d'un produit vectoriel, vu qu'un produit vectoriel est un vecteur. Tu parles peut-être d'une seules des trois coordonnées du vecteur ?

L.A. a écrit:On peut définir un "produit vectoriel" sur R^2 en voyant cet espace comme R^2x{0} plongé dans R^3 (muni de la structure euclidienne canonique). Le résultat est un scalaire (ou peut être identifié à un scalaire) puisque le produit vectoriel classique de deux vecteurs de R^2x{0} est un vecteur de la forme (0,0,z).

Moi aussi ça m'avait paru très étrange la première fois que je l'ai lu, mais vu sous cet angle vous parlez bien tous les deux de la même chose...

Première chose : ta réponse est d'une autre teneur que celles balancées par qui on sait. Une réponse comme la tienne n'attise pas les retours cinglants.

Par ailleurs, je ne vois pas ce qu'il y a d'étrange : tu parles bien d'une seule coordonnée (qui est z) du produit vectoriel classique, cette coordonnée étant un déterminant classique. Il faut simplement être clair sur les définitions.

Enfin, si on place le problème en dimension 3 (ou davantage) en cherchant à tester si un parallélépipède en contient un autre, alors le calcul des coordonnées barycentriques se fera de même manière : résolution d'un système linéaire, formules de Cramer, déterminants (que l'on peut interpréter en calcul de volumes). Je ne vois pas d'utilisation réelle du produit vectoriel.

EDIT : on pourrait même dire qu'un produit vectoriel est un déterminant "formel" :
est la base canonique de .

 

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