Bonjour,
Je dois calculer la limite quand x tend vers 0 de:
(cosh 3x + cosh 2x - 2 cosh x)/(sinh^2 x)
Je ne connais pas du tout la trigonométrie et ce type de fonctions. Quelqu'un peut-il me guider svp en me disant grosso modo comment procéder?
Merci,
J.
Calcul d'une limite
9 messages
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par Olympus » 24 Juil 2010, 12:51
Je doute fort qu'on voit les cosinus et sinus hyperboliques au lycée :doh:
par egan » 24 Juil 2010, 14:37
Quelques explications sur la trigonométrie hyperbolique:
On pose par définition:
=\frac{e^x+e^{-x}}{2})
et =\frac{e^x-e^{-x}}{2})
On pose=\frac{sh(x)}{ch(x)})
Pour la petite histoire, ces deux fonctions correspondent aux parties paire et impaire de l'exponentielle.
Je m'explique. Tu remarqueras très facilement que ch+sh=exp. De plus, ch est paire et sh est impaire.
En fait, tu peux montrer que toute fonction continue (je ne suis pas sûr que cela soit vrai pour les fonctions non continues) peut s'écrire comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. C'est ce qu'on appelle ses parties paire et impaire.
Une autre chose interressant à propos du ch. Tu prends deux poteaux de même hauteur et tu accroches en haut de ceux-ci et entre ceux-ci un cable. Et bien la courbe que tu obtiendras est à une constante multiplicative près la courbe de ch.
Je te laisse vérifier tous les résultats classiques sur la trigonométrie hyperbolique que tu trouveras assez facilement sur le web.
Tu peux aller regarder le cours sur les fonctions usuelles sur ce site que je trouve pas trop mal fait:
http://lavau.pagesperso-orange.fr/mpsi2003/mpsi2003.htm
Le truc important à retenir c'est comment passer de la trigo circulaire à la trigo hyperbolique.
Tu remarqueras que: ch²-sh²=1
Et bien en fait c'est très simple. Si tu veux une formule en trigo hyperbolique, tu prends son équivalent en trigo circulaire et tu remplaces:
-cos par ch
-sin par i.sh (où i est le complexe que tu dois bien connaître maintenant)
-tan par i.th
Par exemple, cos²+sin²=1. Tu appliques la méthode et tu retrouves bien la formule que j'ai évoqué plus haut.
Pour traiter ce genre de limite, il y a deux méthodes. Soit tu repasses par les exponentielles (à ne jamais faire ou dans de très rares cas: tu as plein de formules en trigo hyperbolique, c'est pour ça qu'on l'a inventé) ou alors (il faut presque toujours faire ça) tu utilises les formules de trigo hyperbolique.
On pose par définition:
On pose
Pour la petite histoire, ces deux fonctions correspondent aux parties paire et impaire de l'exponentielle.
Je m'explique. Tu remarqueras très facilement que ch+sh=exp. De plus, ch est paire et sh est impaire.
En fait, tu peux montrer que toute fonction continue (je ne suis pas sûr que cela soit vrai pour les fonctions non continues) peut s'écrire comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. C'est ce qu'on appelle ses parties paire et impaire.
Une autre chose interressant à propos du ch. Tu prends deux poteaux de même hauteur et tu accroches en haut de ceux-ci et entre ceux-ci un cable. Et bien la courbe que tu obtiendras est à une constante multiplicative près la courbe de ch.
Je te laisse vérifier tous les résultats classiques sur la trigonométrie hyperbolique que tu trouveras assez facilement sur le web.
Tu peux aller regarder le cours sur les fonctions usuelles sur ce site que je trouve pas trop mal fait:
http://lavau.pagesperso-orange.fr/mpsi2003/mpsi2003.htm
Le truc important à retenir c'est comment passer de la trigo circulaire à la trigo hyperbolique.
Tu remarqueras que: ch²-sh²=1
Et bien en fait c'est très simple. Si tu veux une formule en trigo hyperbolique, tu prends son équivalent en trigo circulaire et tu remplaces:
-cos par ch
-sin par i.sh (où i est le complexe que tu dois bien connaître maintenant)
-tan par i.th
Par exemple, cos²+sin²=1. Tu appliques la méthode et tu retrouves bien la formule que j'ai évoqué plus haut.
Pour traiter ce genre de limite, il y a deux méthodes. Soit tu repasses par les exponentielles (à ne jamais faire ou dans de très rares cas: tu as plein de formules en trigo hyperbolique, c'est pour ça qu'on l'a inventé) ou alors (il faut presque toujours faire ça) tu utilises les formules de trigo hyperbolique.
par egan » 24 Juil 2010, 14:42
J'ai pas essayé mais j'aurais tendance à dire qu'il faut mettre ton expression sous la forme d'une fraction rationnelle en ch(x). Après tu retomberas sur des choses que tu connais mieux.
par Olympus » 24 Juil 2010, 14:57
Je trouve 
avec la définition d'egan ^^
Il suffit de remarquer que + \cosh \left( 2x \right) - 2 \cosh \left(x\right)}{ \sinh^2 \left(x\right)} = 2\left( e^x + e^{-x} + \frac{e^{2x}+e^x+1}{\left(e^x+1\right)^2} \right))
On remplace
par 0 et le tour est joué .
Il suffit de remarquer que
On remplace
par egan » 24 Juil 2010, 15:08
J'insiste vraiment sur le fait que ce n'est pas une super idée de repasser par les exponentielles. Utilise plutôt les formules de trigo hyperbolique, ch et sh ont été inventés pour être traités comme ça.
par Olympus » 24 Juil 2010, 15:26
Pourtant, je ne vois pas où c'est bourrin et/ou compliqué, car je ne connais pas grand chose aux exponentielles ( j'ai pas encore regardé le cours sur celles-ci ), juste le fait que ^y = e^{xy})
et 
, et pourtant j'y suis arrivé, car cela ne consistait qu'en une simplification d'une fraction rationnelle .
En passant par les exponentielles, on obtient :
 + \cosh \left( 2x \right) - 2 \cosh \left(x\right)}{\sinh^2\left(x\right)} = \frac{2 \left( e^{-3x} + e^{3x} + e^{-2x} + e^{2x} - 2e^{-x} - 2e^x \right)}{e^{2x} + e^{-2x} -2})
Pour que cela n'effraie pas, on pose
, et hop on aura juste affaire à une fonction rationnelle :
}{X^2 + X^{-2} -2})
\left(X^2 + X^{-2} - 2\right) + \left( X^{-2} + X^2 - X - X^{-1} \right)}{X^2 + X^{-2} - 2})
}{X^4 - 2X^2 + 1}\right))
( on remarque que 1 est une racine double de
)
^2\left(X^2 + X + 1 \right)}{X^4 - 2X^2 + 1} \right))
^2\left(X^2 + X + 1 \right)}{\left(X^2 - 1\right)^2} \right))
^2\left(X^2 + X + 1 \right)}{\left(X + 1\right)^2} \right))
^2\left(e^{2x} + e^x + 1 \right)}{\left(e^x + 1\right)^2} \right))
En passant par les exponentielles, on obtient :
Pour que cela n'effraie pas, on pose
( on remarque que 1 est une racine double de
par egan » 24 Juil 2010, 15:39
Ici ça se passe pas trop mal mais le but de la trigo hyperbolique c'est de ne pas repasser par les exponentielles.
par balteo » 24 Juil 2010, 15:44
Merci beaucoup pour toutes ces réponses. Je vais prendre connaissance de tout cela en étudiant les notions qui me sont inconnues.
Merci à tous!
J.
Merci à tous!
J.
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